Final Exam

多元微积分 — 临时抱佛脚 Cheat Sheet

用法：考前 10 分钟过一遍，重点看 ⚠️ 标记的地方

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一、极限与连续

决策流程

代入目标点 → 分母 ≠ 0？
  Yes → 直接代入完事 ✓
  No  → 0/0 不定式：
        ① 试 y=0, x=0（两值不同 → 不存在 ✓）
        ② 试 y=mx（依赖 m → 不存在 ✓）
        ③ 试 y=x²（分母异阶时用）
        ④ 极坐标证明存在（分子 r 次数 > 分母 r 次数）

⚠️ 极坐标必检查

• 分子 $r^a$ ÷ 分母 $r^2$ = $r^{a-2}$
• 若 $a>2$ → 极限 = 0
• 数 $r$ 的次数！别漏！

分段函数偏导

• 在分界点用极限定义，不能套商法则
• $f_x(0,0)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$

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二、偏导数 & 链式法则

Clairaut 定理

若 $f_{xy},f_{yx}$ 连续 → $f_{xy}=f_{yx}$ “verify” 题 → 必须两个都算

链式法则树图

画依赖树：每条路径乘起来，所有路径加起来

$z=f(x,y),x=x(s,t),y=y(s,t)$: $\frac{\partial z}{\partial s}=f_x\cdot \frac{\partial x}{\partial s}+f_y\cdot \frac{\partial y}{\partial s}$

沿曲线求导

$\mathbf{r}(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩$, $T=f(x,y,z)$: $\frac{dT}{dt}=f_x{x}^{\prime }(t)+f_y{y}^{\prime }(t)+f_z{z}^{\prime }(t)$

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三、梯度 & 方向导数

公式

$\nabla f=⟨f_x,f_y,f_z⟩$ $D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot \mathbf{u}$

⚠️ 方向向量必须归一化！

$\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ 最高频失分点，每次都检查

梯度性质（背下来）

问什么	答什么
最大增长方向	$\nabla f$
最大增长率	$
最快下降方向	$-\nabla f$
最快下降率	$-
变化率为 0 的方向	与 $\nabla f$ 垂直

”Unit vector” — 别忘归一化！

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四、切平面 & 法线

隐式曲面 $F(x,y,z)=k$ 在 $P_0$

切平面： $F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0$

法线： $L:(x_0,y_0,z_0)+t⟨F_x,F_y,F_z⟩$

显式曲面 $z=f(x,y)$

切平面： $z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$

⚠️ 平行 vs 垂直

• 两平面平行 ↔ 法向量成比例 (${\mathbf{n}}_1=k{\mathbf{n}}_2$)
• 两平面垂直 ↔ 法向量点积 = 0
• 不要搞反！

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五、极值（二阶判别）

步骤

1. 解 $f_x=0$ 和 $f_y=0$
2. ⚠️ 所有 $x$ 解 × 所有 $y$ 解 = 全部组合！别漏！
3. 算 $D=f_{xx}{f}_{yy}-(f_{xy}{)}^2$
4. 分类

判别表

$D$	$f_{xx}$	结论
$>0$	$>0$	局部最小
$>0$	$<0$	局部最大
$<0$	—	鞍点
$=0$	—	判别失败

⚠️ $D=0$ 怎么办

1. 化简 $f(x,y)-f(a,b)$ 看符号
2. 试两条路径，符号不同 → 鞍点
3. 配方成平方和 → 最小
4. 常见模板：
   • $x^4+y^4$ → min
   • $x^4-y^4$ → 鞍点
   • $x^3+y^3$ → 鞍点
   • $x^2{y}^2$ → min（扁平）

⚠️ $D<0$ 不是判别失败

直接判鞍点！只有 $D=0$ 才失败。

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六、拉格朗日乘数法

单约束 5 步法

1. 写方程组：$\nabla f=\lambda \nabla g$ + 约束 $g=0$
2. 因式分解 $(x\text{ 或 }y)\cdot (\text{lambda 表达式})=0$
3. 分情况：每个因子 = 0
4. 解出所有候选点
5. ⚠️ 代回 $f$ 比较！ 不比较就没分

⚠️ 应用题陷阱

• 画图！明确每个面、每条边
• “Open top” → 表面积 $=xy+2xz+2yz$（不是 $2(xy+yz+zx)$）
• “Closed” → $2(xy+yz+zx)$
• 读两遍题，看清约束

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七、闭区域绝对极值

3 步流程

1. 内部：找临界点（$f_x=f_y=0$）
2. 边界：参数化 or 拉格朗日
3. 角点 / 端点：单独检查
4. ⚠️ 所有候选点代回 $f$，比较大小

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八、防守区（如果出超纲）

向量代数

• 点积：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$，= 0 → 垂直
• 叉积：$\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ → 垂直于两者，$0$ → 平行
• 三重积：$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$ = 平行六面体体积
• 投影：${\text{proj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}{|}^2}\mathbf{b}$

$3\times 3$ 行列式

沿第一行展开，中间项符号是负的！

TBN 框架（5 步）

1. $\mathbf{T}(t)=\frac{{\mathbf{r}}^{\prime }(t)}{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|}$
2. $\mathbf{N}(t)=\frac{{\mathbf{T}}^{\prime }(t)}{|{\mathbf{T}}^{\prime }(t)|}$
3. $\mathbf{B}(t)=\mathbf{T}\times \mathbf{N}$
4. 曲率 $\kappa =\frac{|{\mathbf{T}}^{\prime }(t)|}{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|}=\frac{|{\mathbf{r}}^{\prime }\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }|}{|{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}$
5. 挠率 $\tau =\frac{({\mathbf{r}}^{\prime }\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime })\cdot {\mathbf{r}}^{\prime \prime \prime }}{|{\mathbf{r}}^{\prime }\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }{|}^2}$

平面

• 法平面：包含 $\mathbf{N},\mathbf{B}$（法向量 $\mathbf{T}$）
• 密切平面：包含 $\mathbf{T},\mathbf{N}$（法向量 $\mathbf{B}$）

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九、考前 60 秒自检清单

考试开始前默念：

1. ☐ 极坐标要数 $r$ 次数
2. ☐ 临界点全组合，别漏
3. ☐ 方向向量先归一化
4. ☐ “下降最快” = $-\nabla f$
5. ☐ 平行 = 比例，垂直 = 点积 0
6. ☐ $D<0$ 直接判鞍点
7. ☐ 拉格朗日候选点要代回 $f$ 比较
8. ☐ 应用题画图，看清”open”/“closed”
9. ☐ “verify” 要算两个，不能只算一个
10. ☐ 检查时优先看符号错误

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十、应试策略

时间分配（按 75 分钟算）

• 简单题（偏导、链式、点积叉积）：20 分钟
• 中等题（梯度、切平面、二阶极值）：25 分钟
• 难题（拉格朗日、闭区域、$D=0$）：25 分钟
• 检查：5 分钟

卡住怎么办

• 跳过，先做能做的
• 写下你能写的所有公式 = 部分分
• 别在一道题上死磕超过 10 分钟

拿过程分

• 写出 $\nabla f=\lambda \nabla g$ 就有分
• 写出 $D$ 公式就有分
• 即使最后算错，过程清晰也能拿 60-70%

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最后一句

已经会的别再纠结，不会的也来不及补。

剩下的就是稳定发挥。深呼吸，下笔慢一点比快一点重要。

祝你考好。明天考完，高中就结束了。 🎓