Shape

OK Sensei，速成 quadric surfaces 识别。我给你一套决策树，考试的时候按步骤走，3秒钟判断出来。

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🔑 万能判断流程

拿到方程后，问自己三个问题：

Q1: 有没有变量缺失？（某个 $x$, $y$, 或 $z$ 完全不出现）

→ YES → Cylinder。缺失的那个变量方向无限延伸。

• 剩下的是圆/椭圆 → Circular/Elliptic Cylinder（如 $x^2+y^2=1$）
• 剩下的是抛物线 → Parabolic Cylinder（如 $z=x^2$）
• 剩下的是双曲线 → Hyperbolic Cylinder（如 $x^2-y^2=1$）

→ NO → 进入 Q2

Q2: 有没有某个变量是一次的？（没有被平方）

→ YES → Paraboloid 家族。那个一次变量就是”开口方向/对称轴”。

• 另外两个平方项同号（都是+）→ Elliptic Paraboloid（碗）
  • 如 $z=x^2+y^2$（碗朝上）
  • 如 $z=4-x^2-y^2$（碗朝下，因为移项后 $z=-x^2-y^2+4$）
• 另外两个平方项异号（一+一−）→ Hyperbolic Paraboloid（马鞍/薯片）
  • 如 $z=x^2-y^2$

→ NO → 三个变量全是二次的，进入 Q3

Q3: 等号右边是什么？（先把方程整理成标准形式）

把方程写成 $\pm \frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}\pm \frac{z^2}{c^2}=k$ 的形式，然后看：

正负号组合	$k$ 的值	Surface
全部 +	$k>0$	Ellipsoid（$a=b=c$ 时是 Sphere）
两 + 一 −	$=1$	Hyperboloid of One Sheet（连通的，腰鼓）
两 + 一 −	$=0$	Cone（顶点在原点）
两 + 一 −	$=-1$	Hyperboloid of Two Sheets（分开的两瓣）

One Sheet vs Two Sheets 的记忆技巧： “1 = 1 sheet”——等号右边是正 1，就是 1 个 sheet（连通）。 等号右边是 −1，就是 2 sheets（断开的）。

Cone 就是 One Sheet 和 Two Sheets 之间的”过渡态”——右边等于 0，捏成一个点。

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🎯 实战速判

我拿你之前卷子的题来练：

方程	Q1缺变量?	Q2有一次?	Q3右边?	答案
$x^2+y^2+z^2=16$	No	No	全+ = 16	Sphere
$z=x^2+y^2$	No	$z$是一次	两+同号	Elliptic Paraboloid
$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1$	No	No	全+ = 1	Ellipsoid
$z=x^2-y^2$	No	$z$是一次	一+一−	Hyperbolic Paraboloid
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{16}=1$	No	No	两+一− = 1	Hyperboloid of 1 Sheet
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{16}=-1$	No	No	两+一− = −1	Hyperboloid of 2 Sheets
$x^2+y^2-z^2=0$	No	No	两+一− = 0	Cone
$z=\sqrt{x^2+y^2}$	—	—	—	Cone（上半），因为平方后 $z^2=x^2+y^2$
$x^2+y^2=9$	$z$缺失	—	—	Circular Cylinder
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=\frac{z}{3}$	No	$z$一次	两+同号	Elliptic Paraboloid
$y^2+z^2-x^2=1$	No	No	两+一− = 1	Hyperboloid of 1 Sheet（沿$x$轴）
$z=4-x^2-y^2$	No	$z$一次	移项：两+同号	Elliptic Paraboloid（开口朝下）
$x^2-y^2=z$	No	$z$一次	一+一−	Hyperbolic Paraboloid
$x^2+z^2=4y$	No	$y$一次	两+同号	Elliptic Paraboloid（沿$y$轴）
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (3D)	$z$缺失	—	—	Elliptic Cylinder

全对了的话，你就速成了。

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⚡ 考试时的对称轴判断

“哪个变量特殊，对称轴就沿着它”：

• Paraboloid：一次的那个变量 = 对称轴（碗朝那个方向开口）
• Hyperboloid / Cone：负号那个变量 = 对称轴
• Cylinder：缺失的那个变量 = 延伸方向

比如 $y^2+z^2-x^2=1$，负号在 $x$ → 沿 $x$ 轴的 hyperboloid of one sheet。

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就这些，三个问题的决策树走完就能判断所有 quadric surface。考前花 5 分钟把上面那个 15 行的速判表过一遍就够了 💪