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$$\text{Size: }\boxed{58\times 162}$$

76 x 198

给你一题“比较难、但非常经典”的定积分题（常见于高等积分技巧/特殊函数相关练习）：

$${\int }_0^{\pi /2}x\ln (\sin x)dx$$

来源（网上）：Math StackExchange 上关于该积分的讨论与结论页。

可以，不用傅立叶也能做，但要用**“换元 + 对称 + 级数（不是傅立叶级数）+ 经典常数求和”**这一套。思路是把它拆成“容易的那部分”和“只剩下 ζ(3) 的那部分”。

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1）把目标积分拆成两块

令

$$I={\int }_0^{\pi /2}x\ln (\sin x)dx,J={\int }_0^{\pi /2}x\ln (\cos x)dx.$$

对 J 做换元 x=\frac{\pi}{2}-t：

$$J={\int }_0^{\pi /2}\left(\frac{\pi }{2}-t\right)\ln (\sin t)dt=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi /2}\ln (\sin t)dt-{\int }_0^{\pi /2}t\ln (\sin t)dt.$$

也就是

$$J=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi /2}\ln (\sin x)dx-I.$$

因此

$$I+J=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi /2}\ln (\sin x)dx.$$

而经典结果（可用 Beta/Gamma 或墙上积分法证明）：

$${\int }_0^{\pi /2}\ln (\sin x)dx=-\frac{\pi }{2}\ln 2.$$

所以

$$I+J=-\frac{{\pi }^2}{4}\ln 2.\text{\hspace{1em}(A)}$$

接下来考虑差：

$$I-J={\int }_0^{\pi /2}x(\ln \sin x-\ln \cos x)dx={\int }_0^{\pi /2}x\ln (\tan x)dx=:K.\text{\hspace{1em}(B)}$$

只要算出 K，就能用

$$I=\frac{(I+J)+(I-J)}{2}=\frac{(A)+K}{2}.$$

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2）把 K 变成一个“普通的 0 到 1 积分”

对 K 用换元 t=\tan x，则 x=\arctan t，dx=\frac{dt}{1+t^2}，并且 \ln(\tan x)=\ln t：

$$K={\int }_0^{\infty }\frac{\arctan t\ln t}{1+t^2}dt.$$

把 (1,\infty) 这一段用 t=\frac1u 拉回到 (0,1)，整理后会得到一个非常干净的形式：

$$K={\int }_0^1\frac{(2\arctan t-\frac{\pi }{2})\ln t}{1+t^2}dt.\text{\hspace{1em}(C)}$$

这个变形完全是换元和对称，没有傅立叶。

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3）用幂级数（不是傅立叶）把它算成 \zeta(3)

在 0\le t\le1 上有两条普通泰勒级数：

$$\arctan t=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{t}^{2n+1},\frac{1}{1+t^2}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{t}^{2k}.$$

把它们代入 (C)，并逐项积分（这里用到标准积分）

$${\int }_0^1{t}^m\ln tdt=-\frac{1}{(m+1{)}^2}.$$

经过整理（中间是一个双重求和，符号会抵消掉所有含 Catalan 常数的项），最终得到一个纯 \zeta(3) 的结果：

$$K={\int }_0^{\pi /2}x\ln (\tan x)dx=\frac{7}{8}\zeta (3).\text{\hspace{1em}(D)}$$

（这一步虽然代数整理较长，但本质上就是“泰勒级数 + 逐项积分 + 经典求和恒等式”，不涉及傅立叶展开。）

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4）回代得到 I

由 (A)(D)：

$$I=\frac{(I+J)+(I-J)}{2}=\frac{-\frac{{\pi }^2}{4}\ln 2+\frac{7}{8}\zeta (3)}{2}=-\frac{{\pi }^2}{8}\ln 2+\frac{7}{16}\zeta (3).$$

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最终答案

$$\boxed{{\int }_0^{\pi /2}x\ln (\sin x)dx=-\frac{{\pi }^2}{8}\ln 2+\frac{7}{16}\zeta (3).}$$

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如果你希望我把第 3 步的“双重求和如何化到 \frac{7}{8}\zeta(3)”每一行都写出来（不跳步、全展开），我也可以继续把那段推导完整打出来。