竞赛不等式参考大全

竞赛不等式参考大全（Competition Inequalities: The Complete Reference）

使用说明：本讲义共 69 条主词条。第〇部分为总索引；第一部分（A–I）为常用不等式按类型详解，每条含基本形式、常用变体、等号条件与高频推论；第二部分（K）为冷门 / 高端专区，按竞赛使用频率降序排列；附录 T 为实战技巧速查。建议用支持 KaTeX/MathJax 的编辑器（Typora / Obsidian）打开。

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第〇部分：总索引（Master List）

A. 均值类（Means）
A1. 均值不等式全家桶：HM–GM–AM–QM 链、幂平均（Power Mean）、加权版

B. 柯西家族（Cauchy–Schwarz Family）
B1. 柯西–施瓦茨不等式（Cauchy–Schwarz / CBS）
B2. Engel 形式 / Titu 引理（= Bergström = Sedrakyan）
B3. Radon 不等式（Titu 的幂推广）
B4. Aczél 不等式（差号型柯西）
B5. 反向柯西家族：Diaz–Metcalf、Pólya–Szegő、Schweitzer、Kantorovich
B6. Callebaut 插值不等式
B7. Milne 不等式

C. Hölder–Minkowski–Young 家族
C1. Hölder 不等式（双列 / 多列 / 竞赛幂形式 / 积分）
C2. Minkowski 不等式（含 $0<p<1$ 反向、根式嵌入技巧）
C3. Young 不等式（乘积型 + Peter–Paul + 积分形式）
C4. Lyapunov 插值不等式（矩的对数凸性）

D. 排序与切比雪夫（Rearrangement & Chebyshev）
D1. 排序不等式（Rearrangement）
D2. Chebyshev 和不等式
D3. Abel 求和与 Abel 不等式

E. 凸性家族（Convexity）
E1. Jensen 不等式（离散 / 加权 / 积分）
E2. 切线技巧（Tangent Line Trick, TLT）
E3. Karamata 优超不等式（+ Fuchs 加权版）
E4. Popoviciu 不等式
E5. Hermite–Hadamard 不等式（+ Fejér 加权版）
E6. Petrović 不等式（凸函数超可加性）

F. 对称 / 轮换多项式与系统方法（Symmetric Machinery）
F1. Schur 不等式（一般 $t$、$t=0,1,2$ 展开、Vornicu–Schur 推广）
F2. Muirhead 定理
F3. Newton 不等式与 Maclaurin 不等式
F4. SOS 方法（$S_a,S_b,S_c$ 判据 + 配方字典）
F5. pqr / uvw 方法（含全部基础约束式）
F6. 混合变量法（SMV）与 EV 定理
F7. 半凸函数定理（HCF：LCF/RCF，Cîrtoaje）

G. 经典具名代数不等式（Classical Named）
G1. Nesbitt 不等式
G2. Bernoulli 不等式（整数 / 实数指数）
G3. 绝对值三角不等式（含反向）
G4. Weierstrass 乘积不等式
G5. 几何平均超可加性（Mahler 型）
G6. 幂指排序不等式（$a^a{b}^b\ge a^b{b}^a$ 型）

H. 指数、对数、三角与数列估计（Estimates）
H1. $e^x\ge 1+x$ 与对数不等式家族
H2. 三角函数基本界（Jordan 不等式等）
H3. 调和数估计与根式裂项放缩
H4. Stirling 公式与二项式系数界

I. 几何不等式（Geometric）
I1. Euler 不等式 $R\ge 2r$
I2. Weitzenböck 与 Hadwiger–Finsler
I3. Erdős–Mordell 不等式
I4. Ptolemy 不等式
I5. Leibniz 不等式（点到顶点距离平方和）
I6. $s$–$R$–$r$ 体系：Gerretsen、Blundon 与经典链
I7. Padoa 不等式（$\equiv$ Schur $t=1$）
I8. Pedoe 不等式（两三角形）
I9. 等周不等式（Isoperimetric）
I10. 三角形内三角函数不等式合集

K. 冷门 / 高端专区（按使用频率降序）
K1. Iran 1996 不等式（基准结果）
K2. Cîrtoaje 循环平方不等式
K3. Turkevici 不等式（四元）
K4. Surányi 不等式
K5. Hlawka 不等式
K6. Klamkin 不等式（Leibniz 的加权推广）
K7. Chebyshev 积分不等式
K8. Grüss 不等式
K9. Steffensen 不等式
K10. Carleman 不等式
K11. Hardy 不等式
K12. Hilbert 不等式
K13. Hadamard 行列式不等式
K14. Wilker 与 Cusa–Huygens（含三角版 Huygens）
K15. Shapiro 循环不等式（含失效阈值）
K16. Turán 定理（极值图论不等式）
K17. Markov 与 Chebyshev 不等式（概率）
K18. LYM 不等式（$\Rightarrow$ Sperner 定理）
K19. Kraft 不等式
K20. Jung 定理（覆盖半径）
K21. Ono 不等式（仅锐角三角形）

附录 T. 实战技巧速查（Techniques Cheat Sheet）

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第一部分：常用不等式分类详解

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A. 均值类

A1. 均值不等式全家桶（Mean Inequalities）

对 $n$ 个正实数 $a_1,\dots ,a_n>0$，定义：

调和平均（Harmonic Mean, HM）
$H=\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}$

几何平均（Geometric Mean, GM）
$G=\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}={\left({\prod }_{i=1}^n{a}_i\right)}^{1/n}$

算术平均（Arithmetic Mean, AM）
$A=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i$

平方平均（Quadratic Mean / RMS, QM）
$Q=\sqrt{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i^2}$

主链（The Chain）
$\boxed{H\le G\le A\le Q}$

等号成立当且仅当 $a_1=\cdots =a_n$（下文所有均值类等号条件同此，不再重复）。

**## 广义版本：幂平均不等式（Power Mean Inequality）

上面四个只是幂平均 $M_p$ 在 $p=-1,0,1,2$ 时的特例。定义 $p$ 次幂平均：
$M_p={\left(\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i^p\right)}^{1/p},(p\ne 0)$

而 $p=0$ 时用连续极限定义（正好等于几何平均）：
$M_0={\lim }_{p\to 0}{M}_p=\sqrt[n]{\prod a_i}=G$

幂平均不等式：若 $p<q$，则
$M_p\le M_q$

等号成立当且仅当所有 $a_i$ 相等。对应关系：

名称	记号	$p$ 值	表达式
最小值 (Min)	$M_{-\infty }$	$p\to -\infty$	$\min \{a_i\}$
调和平均 (HM)	$M_{-1}$	$p=-1$	$\frac{n}{\sum 1/a_i}$
几何平均 (GM)	$M_0$	$p=0$	$\sqrt[n]{\prod a_i}$
算术平均 (AM)	$M_1$	$p=1$	$\frac{1}{n}\sum a_i$
平方平均 (QM)	$M_2$	$p=2$	$\sqrt{\frac{1}{n}\sum a_i^2}$
立方平均 (Cubic Mean)	$M_3$	$p=3$	${\left(\frac{1}{n}\sum a_i^3\right)}^{1/3}$
最大值 (Max)	$M_{+\infty }$	$p\to +\infty$	$\max \{a_i\}$

完整链：
$\min \le \cdots \le H\le G\le A\le Q\le \cdots \le \max$

加权版（Weighted）：$w_i>0$，$\sum w_i=1$：
$\sum w_i{a}_i\ge \prod a_i^{w_i},\frac{1}{\sum w_i/a_i}\le \prod a_i^{w_i}\le \sum w_i{a}_i$
记忆：算术侧权重当系数，几何侧权重当指数，两边靠 $\ln$ 互换。

二元形态（$n=2$，最高频）：对 $a,b>0$：
$\frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

高频推论：

• $a+b\ge 2\sqrt{ab}$；$x+\frac{1}{x}\ge 2$（$x>0$）
• $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$；$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$
• $a^2+b^2\ge 2ab$；$(a+b{)}^2\le 2(a^2+b^2)$；$(a+b+c{)}^2\le 3(a^2+b^2+c^2)$
• $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$；一般地 $\sum \frac{1}{a_i}\ge \frac{n^2}{\sum a_i}$（AM–HM）
• $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$；$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc$
• $a^3+b^3\ge ab(a+b)$；$a^3+b^3+c^3\ge 3abc$（$a+b+c>0$ 时）

证明思路：Cauchy 前向–后向归纳（先 $2^k$ 再回填）；对 $\ln x$（凹函数, concave）用 Jensen；调整法（smoothing）。$\mathrm{GM}\ge \mathrm{HM}$ 对 $1/a_i$ 用 AM–GM；$\mathrm{AM}\le \mathrm{QM}$ 展开 $\sum (a_i-\bar{a}{)}^2\ge 0$。

注意：全链要求 $a_i>0$；$M_0$ 靠极限定义不能直接代 $p=0$。

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B. 柯西家族（Cauchy–Schwarz Family）

B1. 柯西–施瓦茨不等式（Cauchy–Schwarz Inequality）

基本形式（别名 Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz, CBS）：对实数 $a_i,b_i$：
${\left({\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2\le \left({\sum }_{i=1}^n{a}_i^2\right)\left({\sum }_{i=1}^n{b}_i^2\right)$

等号条件：两组数成比例，即存在 $\lambda$ 使 $a_i=\lambda b_i$（或某组全零）。

常用变体：

• 二元：$(ac+bd{)}^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$
• 根号配对形（对 $x_i,y_i\ge 0$）：${\left(\sum \sqrt{x_i{y}_i}\right)}^2\le \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)$
• 向量形：$|⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩|\le \Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert$
• 积分形：${\left({\int }_a^{b}fg\right)}^2\le {\int }_a^b{f}^2{\int }_a^b{g}^2$
• 复数形：${\left|\sum a_i\overline{b_i}\right|}^2\le \sum |a_i{|}^2\sum |b_i{|}^2$

Lagrange 恒等式（等号的”账本”）：
$\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)-{\left(\sum a_i{b}_i\right)}^2={\sum }_{1\le i<j\le n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2$
二元特例：$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd{)}^2+(ad-bc{)}^2$。

高频推论：

• ${\left(\sum a_i\right)}^2\le n\sum a_i^2$（即 AM ≤ QM）
• ${\left(\sum \sqrt{a_i}\right)}^2\le n\sum a_i$
• $(a+b+c)(x+y+z)\ge {\left(\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz}\right)}^2$

实战要点：核心是”拆分构造两组数”——看到 $\sum$ 乘 $\sum \ge (\sum {)}^2$ 结构、或要消根号 / 凑分母时优先想它。

B2. Engel 形式 / Titu 引理（Engel Form / Titu’s Lemma）

基本形式（别名 Bergström 不等式、Sedrakyan 引理、Cauchy–Schwarz in Engel form）：对 $b_i>0$：
$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots +\frac{a_n^2}{b_n}\ge \frac{(a_1+a_2+\cdots +a_n{)}^2}{b_1+b_2+\cdots +b_n}$

等号条件：$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots =\frac{a_n}{b_n}$。

二元形（写题最常用）：
$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge \frac{(a+b{)}^2}{x+y}$

高频推论：

• $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$，$\sum \frac{1}{a_i}\ge \frac{n^2}{\sum a_i}$（分子取 1）
• Nesbitt 三行秒杀：$\sum \frac{a}{b+c}=\sum \frac{a^2}{ab+ac}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{2(ab+bc+ca)}\ge \frac{3}{2}$

实战要点：任何”平方 ÷ 正数”求和都先套它；分子不是平方时手动配平方（$\frac{a}{x}=\frac{a^2}{ax}$）。这是柯西令 $a_i\to a_i/\sqrt{b_i},b_i\to \sqrt{b_i}$ 的直接特例。

B3. Radon 不等式（Radon’s Inequality）

基本形式：对 $a_i\ge 0$，$b_i>0$，$p>0$：
${\sum }_{i=1}^n\frac{a_i^{p+1}}{b_i^p}\ge \frac{{\left(\sum a_i\right)}^{p+1}}{{\left(\sum b_i\right)}^p}$

等号条件：$a_i/b_i$ 全部相等。$p=1$ 即 Titu 引理；证明用 Hölder。

实战要点：分子幂比分母幂高一次的分式和，直接一步到位，不用反复叠 Titu。

B4. Aczél 不等式（Aczél’s Inequality）

基本形式：若 $a_1^2>a_2^2+\cdots +a_n^2$，则
${\left(a_1{b}_1-{\sum }_{i=2}^n{a}_i{b}_i\right)}^2\ge \left(a_1^2-{\sum }_{i=2}^n{a}_i^2\right)\left(b_1^2-{\sum }_{i=2}^n{b}_i^2\right)$

实战要点：柯西的”减号镜像”（洛伦兹型二次型），条件式形如 $x_1^2\ge \sum x_i^2$ 时使用；也常配合归一化处理带约束的平方差结构。

B5. 反向柯西家族（Reverse Cauchy Family）

前提都是”变量有上下界”，这是反向估计的代价。

Diaz–Metcalf：若 $0<m\le \frac{b_i}{a_i}\le M$，则
$\sum b_i^2+mM\sum a_i^2\le (m+M)\sum a_i{b}_i$

Pólya–Szegő：若 $0<m_1\le a_i\le M_1$，$0<m_2\le b_i\le M_2$，则
$\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)\le \frac{1}{4}{\left(\sqrt{\frac{M_1{M}_2}{m_1{m}_2}}+\sqrt{\frac{m_1{m}_2}{M_1{M}_2}}\right)}^2{\left(\sum a_i{b}_i\right)}^2$

Schweitzer：若 $0<m\le a_i\le M$，则
$\left({\sum }_{i=1}^n{a}_i\right)\left({\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}\right)\le \frac{(M+m{)}^2}{4Mm}{n}^2$

Kantorovich（Schweitzer 的二次型版）：$A$ 对称正定、特征值落在 $[m,M]$，则 $({\mathbf{x}}^{\top }A\mathbf{x})({\mathbf{x}}^{\top }{A}^{-1}\mathbf{x})\le \frac{(M+m{)}^2}{4Mm}\Vert \mathbf{x}{\Vert }^4$。

实战要点：正向柯西给 $\left(\sum a\right)\left(\sum \frac{1}{a}\right)\ge n^2$，这一家族补上”$\le$ 多少”的天花板——凡是题目给了范围 $[m,M]$ 的乘积和估计，先想它们。

B6. Callebaut 插值不等式（Callebaut’s Inequality）

对 $a_i,b_i>0$ 与 $0\le s\le t\le 1$：
$\left(\sum a_i^{1+s}{b}_i^{1-s}\right)\left(\sum a_i^{1-s}{b}_i^{1+s}\right)\le \left(\sum a_i^{1+t}{b}_i^{1-t}\right)\left(\sum a_i^{1-t}{b}_i^{1+t}\right)$

实战要点：$s=0$ 端是 ${\left(\sum a_i{b}_i\right)}^2$，$t=1$ 端是 $\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)$——它把柯西两端之间连续插值，处理”指数错位对称”的乘积对。

B7. Milne 不等式（Milne’s Inequality）

对 $a_i,b_i>0$：
$\left({\sum }_{i=1}^n(a_i+b_i)\right)\left({\sum }_{i=1}^n\frac{a_i{b}_i}{a_i+b_i}\right)\le \left(\sum a_i\right)\left(\sum b_i\right)$

等号条件：$a_i/b_i$ 全等。实战要点：$\frac{ab}{a+b}$ 是”并联电阻 / 半调和”结构，出现这种分式时它是为数不多方向朝 $\le$ 的现成工具。

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C. Hölder–Minkowski–Young 家族

C1. Hölder 不等式（Hölder’s Inequality）

双列形式：$p,q>1$，$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$（共轭指数, conjugate exponents）：
${\sum }_{i=1}^n|a_i{b}_i|\le {\left(\sum |a_i{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum |b_i{|}^q\right)}^{1/q}$
$p=q=2$ 退化为柯西。等号：$|a_i{|}^p\propto |b_i{|}^q$。

多列形式：${\sum }_k\frac{1}{p_k}=1$（$p_k>1$）：
${\sum }_i{\prod }_k{a}_{k,i}\le {\prod }_k{\left({\sum }_i{a}_{k,i}^{p_k}\right)}^{1/p_k}$

竞赛幂形式（最常用的一档）：对非负数：
$\left(\sum a_i^3\right)\left(\sum b_i^3\right)\left(\sum c_i^3\right)\ge {\left(\sum a_i{b}_i{c}_i\right)}^3$
一般地 $\left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)\left(\sum z_i\right)\ge {\left(\sum \sqrt[3]{x_i{y}_i{z}_i}\right)}^3$。

权重形式（degree 配平神器）：$\lambda ,\mu >0$，$\lambda +\mu =1$：
$\sum a_i^{\lambda }{b}_i^{\mu }\le {\left(\sum a_i\right)}^{\lambda }{\left(\sum b_i\right)}^{\mu }$

积分形式：$\int |fg|\le {\left(\int |f{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\int |g{|}^q\right)}^{1/q}$。

经典应用（IMO 2001 P2）：证 $\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\ge 1$。由 Hölder：
${\left(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\right)}^2\left(\sum a(a^2+8bc)\right)\ge (a+b+c{)}^3$
再证 $(a+b+c{)}^3\ge \sum a^3+24abc$（展开后即 ${\sum }_{sym}{a}^{2}b\ge 6abc$，AM–GM）即完。

实战要点：分母带根号 / 分数次幂时首选；用”幂次记账”决定各列指数（见附录 T）。

C2. Minkowski 不等式（Minkowski’s Inequality）

基本形式（$p\ge 1$）：
${\left({\sum }_{i=1}^n(a_i+b_i{)}^p\right)}^{1/p}\le {\left(\sum a_i^p\right)}^{1/p}+{\left(\sum b_i^p\right)}^{1/p}$
即 $L^p$ 范数的三角不等式。等号：两组成比例。反向：$0<p<1$ 时不等号反转。

$p=2$ 根式嵌入形（几何最值神器）：
$\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}\ge \sqrt{(a_1+a_2{)}^2+(b_1+b_2{)}^2}$
链式推广到 $n$ 段。经典应用：$\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{(c-x{)}^2+b^2}\ge \sqrt{c^2+(a+b{)}^2}$（折线拉直 / 反射法），处理 $\sum \sqrt{\text{二次式}}$ 的最小值。

C3. Young 不等式（Young’s Inequality）

乘积型：$p,q>1$，$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，$a,b\ge 0$：
$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$
等号：$a^p=b^q$。本质是二项加权 AM–GM；也是 Hölder 的单项引擎。

Peter–Paul 形式（$\epsilon$ 技巧）：对任意 $\epsilon >0$：
$ab\le \epsilon a^2+\frac{b^2}{4\epsilon }$
用可调参数把交叉项拆进平方项，分析与竞赛通吃。

积分形式：$f$ 严格增、$f(0)=0$，$a\ge 0$，$b\in \mathrm{ran}f$：
$ab\le {\int }_0^{a}f(x)dx+{\int }_0^b{f}^{-1}(y)dy$
等号当且仅当 $b=f(a)$。

C4. Lyapunov 插值不等式（Lyapunov’s Inequality）

对 $a_i>0$ 与 $0<p<q<r$：
${\left(\sum a_i^q\right)}^{r-p}\le {\left(\sum a_i^p\right)}^{r-q}{\left(\sum a_i^r\right)}^{q-p}$

实战要点：等价于 $t\mapsto \ln \sum a_i^t$ 是凸函数（矩的对数凸性, log-convexity of moments）；用来在两个已知幂和之间”内插”未知幂和的界。由 Hölder 一步可证。

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D. 排序与切比雪夫

D1. 排序不等式（Rearrangement Inequality）

设 $a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$，$b_1\le b_2\le \cdots \le b_n$，$\sigma$ 为任意置换：
$\underset{\text{同序和}}{\underbrace{\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i}}\ge \underset{\text{乱序和}}{\underbrace{\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_{\sigma (i)}}}\ge \underset{\text{逆序和}}{\underbrace{\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_{n+1-i}}}$

等号条件：$a$ 或 $b$ 全等（或置换不改变配对值）。

高频推论：

• $\frac{a_1}{a_{\sigma (1)}}+\cdots +\frac{a_n}{a_{\sigma (n)}}\ge n$（与 $1/a$ 逆序配对）
• $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$；$\sum \frac{a^2}{b}\ge a+b+c$
• Chebyshev 和不等式（D2）与 $a^a{b}^b\ge a^b{b}^a$（G6）都由它派生

实战要点：无需凸性、无需正数（只要能排序）；轮换对称式常 WLOG 设 $a\ge b\ge c$ 后配对。

D2. Chebyshev 和不等式（Chebyshev’s Sum Inequality）

若 $a_1\le \cdots \le a_n$ 且 $b_1\le \cdots \le b_n$（同单调）：
$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i\ge \left(\frac{1}{n}\sum a_i\right)\left(\frac{1}{n}\sum b_i\right)$
反单调时不等号反转。等号：某组全等。

高频推论：$\sum a_i^{k+1}\ge \frac{1}{n}\left(\sum a_i\right)\left(\sum a_i^k\right)$ ——幂和的”自举”（bootstrapping），配合归纳可推幂平均链。

实战要点：“同增同减”的两组量，均值的乘积 ≤ 乘积的均值。证明就是把排序不等式的 $n$ 个轮换版本相加。

D3. Abel 求和与 Abel 不等式（Abel Summation）

Abel 变换（分部求和, summation by parts）：记 $A_k=a_1+\cdots +a_k$：
${\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i=A_n{b}_n+{\sum }_{i=1}^{n-1}{A}_i(b_i-b_{i+1})$

Abel 不等式：若 $b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n\ge 0$ 且 $m\le A_k\le M$（对所有 $k$），则
$m{b}_1\le {\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i\le M{b}_1$

实战要点：当”部分和有界”而单项无界时的唯一正解；数列型不等式与三角和（trigonometric sums）估计的标配。

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E. 凸性家族

E1. Jensen 不等式（Jensen’s Inequality）

$f$ 在区间 $I$ 上凸（convex，判据 $f^{\prime \prime }\ge 0$），$x_i\in I$，$w_i>0$，$\sum w_i=1$：
$f\left({\sum }_{i=1}^n{w}_i{x}_i\right)\le {\sum }_{i=1}^n{w}_{i}f(x_i)$
凹函数（concave）反向。等号：所有 $x_i$ 相等，或 $f$ 在相关区间线性。

积分 / 期望形式：$f(\mathbb{E}[X])\le \mathbb{E}[f(X)]$。

高频推论：取 $f=\ln$（凹）得 AM–GM；取 $f=x^{q/p}$ 得幂平均不等式；取 $f=x\ln x$ 得熵类不等式。三角形内取 $f=\sin$（凹于 $[0,\pi ]$）得 $\sin A+\sin B+\sin C\le 3\sqrt{3}/2$。

实战要点：竞赛里 80% 的”对称函数和 vs 均值点”问题的总开关。先验凸性（求二阶导），再决定方向。

E2. 切线技巧（Tangent Line Trick, TLT）

原理：$f$ 凸时对任意锚点 $t$：$f(x)\ge f(t)+f^{\prime }(t)(x-t)$（凹则反向）。带约束 $\sum x_i=ns$ 的题目，取 $t=s$ 逐项放缩后求和，一阶项自动消失：
$\sum f(x_i)\ge nf(s)+f^{\prime }(s)\left(\sum x_i-ns\right)=nf(s)$

微型示例：$a+b+c=3$ 证 $\sum a^2\ge 3$：切线 $a^2\ge 2a-1$，求和即得。

非全局凸时：只需”切线不等式 $f(x)\ge \ell (x)$ 在变量实际范围内成立”即可，不要求整段凸——先猜等号点，写出切线，再独立验证该单变量不等式（往往可因式分解出 $(x-t{)}^2$）。

实战要点：等号点在内部且各变量”解耦”的约束题，第一反应就是 TLT；失败再升级到 HCF（F7）或 SOS。

E3. Karamata 优超不等式（Majorization Inequality）

优超（majorization）定义：降序排列后，$\mathbf{a}\succ \mathbf{b}$ 指
${\sum }_{i=1}^k{a}_i\ge {\sum }_{i=1}^k{b}_i(\forall k<n),{\sum }_{i=1}^n{a}_i={\sum }_{i=1}^n{b}_i$

定理：$f$ 凸且 $\mathbf{a}\succ \mathbf{b}$（各分量都在 $f$ 的凸区间内），则
$f(a_1)+\cdots +f(a_n)\ge f(b_1)+\cdots +f(b_n)$
凹函数反向。加权版（Fuchs 不等式）：相同结论对满足加权优超条件的正权重成立。

高频用法：$(x+y,0)\succ (x,y)$ 给凸函数超可加性；$\left(\sum x_i,0,\dots ,0\right)\succ (x_1,\dots ,x_n)\succ (\bar{x},\dots ,\bar{x})$ 一次夹出上下界；三角形角度 $(\pi /2,\pi /4,\pi /4)?$ 之类的角度极值问题特别好用。

实战要点：Jensen 只比”向量 vs 其均值”，Karamata 能比任意两个可优超向量——识别出”谁更散”即可收割。

E4. Popoviciu 不等式（Popoviciu’s Inequality）

$f$ 凸，对任意 $x,y,z\in I$：
$f(x)+f(y)+f(z)+3f\left(\frac{x+y+z}{3}\right)\ge 2\left[f\left(\frac{x+y}{2}\right)+f\left(\frac{y+z}{2}\right)+f\left(\frac{z+x}{2}\right)\right]$

实战要点：比 Jensen 更精细的三点凸性关系（Jensen 是它的弱化）；出现”两两中点”结构时的对号工具。可由 Karamata 证明。

E5. Hermite–Hadamard 不等式（Hermite–Hadamard Inequality）

$f$ 在 $[a,b]$ 上凸：
$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le \frac{f(a)+f(b)}{2}$

Fejér 加权版：$w\ge 0$ 关于中点对称时，$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\int w\le \int fw\le \frac{f(a)+f(b)}{2}\int w$。

实战要点：连接”中点值—积分均值—端点均值”三层；数列不等式里用它把 $\sum f(k)$ 与 $\int f$ 互相夹逼（与 H3 的积分放缩联动）。

E6. Petrović 不等式（Petrović’s Inequality）

$f$ 在 $[0,c]$ 上凸，$x_i\ge 0$ 且 $\sum x_i\in [0,c]$：
${\sum }_{i=1}^{n}f(x_i)\le f\left({\sum }_{i=1}^n{x}_i\right)+(n-1)f(0)$

实战要点：$f(0)\le 0$ 时给出凸函数的超可加性 $\sum f(x_i)\le f\left(\sum x_i\right)$；由 Karamata 用 $\left(\sum x_i,0,\dots \right)\succ (x_1,\dots ,x_n)$ 秒证。

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F. 对称 / 轮换多项式与系统方法

F1. Schur 不等式（Schur’s Inequality）

一般形式：$a,b,c\ge 0$，$t>0$：
$a^t(a-b)(a-c)+b^t(b-a)(b-c)+c^t(c-a)(c-b)\ge 0$
等号：$a=b=c$，或两者相等且第三者为 $0$。⚠️ 注意等号有边界情形，这是 Schur 区别于 AM–GM 系工具的灵魂。

$t=0$ 展开：$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$（退化为平凡型）。

$t=1$ 展开（最常用），以下互相等价：
$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
$(a+b+c{)}^3+9abc\ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$
$a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\ge 2(ab+bc+ca)$
$abc\ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(\text{即 Padoa，见 I7})$
pqr 语言：$p^3+9r\ge 4pq$。

$t=2$ 展开：
$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\ge a^{3}b+a{b}^3+b^{3}c+b{c}^3+c^{3}a+c{a}^3$
pqr 语言：$p^4-5p^{2}q+4q^2+6pr\ge 0$。

Vornicu–Schur 推广：设 $x\ge y\ge z$，$a,b,c\ge 0$，则
$a(x-y)(x-z)+b(y-x)(y-z)+c(z-x)(z-y)\ge 0$
在以下任一充分条件下成立：(i) $a\ge b$；(ii) $c\ge b$；（更多条件涉及凸性配权，如 $x,y,z$ 为三角形边且 $a,b,c$ 单调）。

实战要点：AM–GM / 柯西方向”差一点点”（尤其等号含边界 $(t,t,0)$）时，Schur 是补刀首选；与 pqr（F5）配合提供 $r$ 的下界。

F2. Muirhead 定理（Muirhead’s Theorem）

记号：对指数组 $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ 定义对称和 $[\alpha ]=\sum _{\sigma \in S_n}{a}_{\sigma (1)}^{{\alpha }_1}\cdots a_{\sigma (n)}^{{\alpha }_n}$。

定理：对正实数，若 $\alpha \succ \beta$（优超，见 E3），则
$[\alpha ]\ge [\beta ]$
等号：$\alpha =\beta$ 或所有 $a_i$ 相等。

示例：$(3,0,0)\succ (2,1,0)\succ (1,1,1)$ 给出
$2(a^3+b^3+c^3)\ge a^{2}b+a^{2}c+b^{2}a+b^{2}c+c^{2}a+c^{2}b\ge 6abc$

⚠️ 两大警告：

1. 只适用于完全对称和，不适用于轮换和（cyclic sums）——${\sum }_{cyc}{a}^{2}b$ 不能用 Muirhead 比较。
2. 多数正式竞赛（尤其 USAMO 传统）不接受直接引用 Muirhead 作为最终步骤。正确姿势：用它探路判方向，正式书写时用加权 AM–GM 把每一步”翻译”出来（任何 Muirhead 步骤都存在 AM–GM 分解）。

F3. Newton 不等式与 Maclaurin 不等式

设 $e_k$ 为 $n$ 个正实数的初等对称多项式（elementary symmetric polynomials），归一化 $p_k=e_k/\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$。

Newton 不等式：
$p_k^2\ge p_{k-1}{p}_{k+1},1\le k\le n-1$

Maclaurin 不等式：
$p_1\ge p_2^{1/2}\ge p_3^{1/3}\ge \cdots \ge p_n^{1/n}$
首尾正是 AM ≥ GM 的加细。等号：全体相等。

$n=3$ 显式：
$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\ge \sqrt[3]{abc}$

实战要点：对称多项式之间”跨层比较”的标准桥梁；$q^2\ge 3pr$、$p^2\ge 3q$ 这些 pqr 基础事实全是它的 $n=3$ 特例。

F4. SOS 方法（Sum of Squares）

标准形：把三元对称 / 轮换不等式整理为
$S_a(b-c{)}^2+S_b(c-a{)}^2+S_c(a-b{)}^2\ge 0$
其中 $S_a,S_b,S_c$ 是 $a,b,c$ 的表达式。

标准判据（WLOG $a\ge b\ge c$，以下任一即可收工）：

1. $S_a,S_b,S_c\ge 0$；
2. $S_b\ge 0$，且 $S_a+S_b\ge 0$，$S_b+S_c\ge 0$；
3. $S_b,S_c\ge 0$，且 $a^2{S}_b+b^2{S}_a\ge 0$；
4. $S_a+S_b\ge 0$，$S_b+S_c\ge 0$，$S_c+S_a\ge 0$，且 $S_a{S}_b+S_b{S}_c+S_c{S}_a\ge 0$。
   （判据 2 用 $(a-c{)}^2\ge (a-b{)}^2+(b-c{)}^2$；判据 3 用 $\frac{a-c}{b-c}\ge \frac{a}{b}$。）

配方字典（高频恒等式）：

• $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\right]$
• $a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)\left[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\right]$
• $a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a-b{)}^2$；$a^4+b^4-a^{3}b-a{b}^3=(a^2+ab+b^2)(a-b{)}^2$
• $4(a^3+b^3)-(a+b{)}^3=3(a+b)(a-b{)}^2$
• $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{(a-b{)}^2}{ab(a+b)}$
• $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{(a-b{)}^2}{ab}$

实战要点：轮换三元不等式的”系统性通道”——先通分 / 移项，把差量全部塞进 $(a-b{)}^2$ 型括号，再查判据表。Iran 1996（K1）是本方法的毕业考。

F5. pqr / uvw 方法

记号：$p=a+b+c$，$q=ab+bc+ca$，$r=abc$（$a,b,c\ge 0$）。任何对称多项式不等式都可翻译成 $p,q,r$ 的语言。

基础约束库（必背）：
$p^2\ge 3q,q^2\ge 3pr,pq\ge 9r,p^3\ge 27r$
$\text{Schur }t=1:p^3+9r\ge 4pq\text{Schur }t=2:p^4-5p^{2}q+4q^2+6pr\ge 0$
$a,b,c$ 为实数的可行性条件（三次判别式非负）：
$-4p^{3}r+p^2{q}^2+18pqr-4q^3-27r^2\ge 0$

核心定理（uvw 的灵魂）：固定 $p,q$（合法范围内），$r$ 的最大值 / 最小值只会在两变量相等或某变量为 0（限非负情形）处取得。

工作流：齐次化 → 归一（设 $p=1$ 或 $q=1$ 或 $r=1$）→ 目标化为 $r$ 的一元函数 → 若关于 $r$ 线性 / 单调，直接代边界情形（$b=c$ 或 $c=0$）化为单变量不等式收工。

实战要点：对”对称 + 齐次”三元题几乎是降维打击；缺点是代数量大、且轮换（非对称）题不适用。

F6. 混合变量法（SMV）与 EV 定理

SMV（Stronger Mixing Variables, Pham Kim Hung）：若把任意两个变量替换为其某种平均（算术 / 几何等）时目标函数不增（或不减），则极值在全体相等或边界处取得。操作：反复”拉平”最大最小两个变量。

EV 定理（Equal Variables, Cîrtoaje, 2005 实用形）：固定 $\sum x_i$ 与 $\sum x_i^p$（$p\ne 1$，$x_i\ge 0$）时，对满足适当凸性条件的 $f$，$\sum f(x_i)$ 的极值在 $n-1$ 个变量相等处取得。

实战要点：这是”猜等号点在 $(t,t,\dots ,t,s)$ 型”的理论后盾；四元及以上、或带两条对称约束的题，用它把自由度砍到 1。正式书写需按原文核对 $f$ 的条件（见文末 caveats）。

F7. 半凸函数定理（HCF / LCF / RCF, Cîrtoaje）

RCF（Right Convex Function）定理：设 $s=\frac{1}{n}\sum a_i$ 固定，$f$ 在 $\{x\ge s\}$ 上凸。则
${\sum }_{i=1}^{n}f(a_i)\ge nf(s)$
对所有满足约束的 $a_i$ 成立 当且仅当 它在 $a_1=\cdots =a_{n-1}=y\ge s\ge x=a_n$（即 $x+(n-1)y=ns$）这一族上成立，也就是只需验证单变量不等式
$f(x)+(n-1)f(y)\ge nf(s),x+(n-1)y=ns,x\le s\le y$
LCF 对称地处理”左侧凸”。

实战要点：TLT 因非全局凸而失败时的正规升级路线——把 $n$ 元问题严格等价地降为 1 元；Jensen 失效区专用。

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G. 经典具名代数不等式

G1. Nesbitt 不等式（Nesbitt’s Inequality）

对 $a,b,c>0$：
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$
等号：$a=b=c$。

四种一行证明：① Titu（见 B2）；② AM–HM：$\sum \frac{a}{b+c}=(a+b+c)\sum \frac{1}{b+c}-3=\frac{1}{2}\left[\sum (b+c)\right]\left[\sum \frac{1}{b+c}\right]-3\ge \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$；③ 排序不等式（WLOG $a\ge b\ge c$，则 $\frac{1}{b+c}\ge \frac{1}{c+a}\ge \frac{1}{a+b}$ 同序）；④ SOS。

推广（$n$ 元）：记 $S=\sum a_i$：
${\sum }_{i=1}^n\frac{a_i}{S-a_i}\ge \frac{n}{n-1}$
循环分母版本的推广即 Shapiro 问题（K15，有惊人反例）。

G2. Bernoulli 不等式（Bernoulli’s Inequality）

对 $x>-1$：
$\alpha \ge 1\text{ 或 }\alpha \le 0:(1+x{)}^{\alpha }\ge 1+\alpha x$
$0\le \alpha \le 1:(1+x{)}^{\alpha }\le 1+\alpha x$
等号：$x=0$ 或 $\alpha \in \{0,1\}$。整数版 $(1+x{)}^n\ge 1+nx$ 可归纳；实数版即 $f(x)=(1+x{)}^{\alpha }$ 的凸凹性（切线技巧的原型）。

高频推论：$x\ge 0$ 时截断二项式 $(1+x{)}^n\ge 1+nx+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2$；$e$ 的夹逼（H1）；数列极限估计中的标准放缩。

G3. 绝对值三角不等式（Triangle Inequality）

$|a+b|\le |a|+|b|,\left||a|-|b|\right|\le |a-b|$
$n$ 元：$\left|\sum a_i\right|\le \sum |a_i|$。对复数、向量同样成立（$\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}\Vert \le \Vert \mathbf{u}\Vert +\Vert \mathbf{v}\Vert$）。等号：同号 / 同向。

实战要点：反向形式（下界）常被遗忘——估计”差的绝对值”下界时它是第一工具。精细版见 Hlawka（K5）。

G4. Weierstrass 乘积不等式（Weierstrass Product Inequality）

对 $a_i\ge 0$：
${\prod }_{i=1}^n(1+a_i)\ge 1+{\sum }_{i=1}^n{a}_i$
对 $a_i\in [0,1]$：
${\prod }_{i=1}^n(1-a_i)\ge 1-{\sum }_{i=1}^n{a}_i$
若再有 $\sum a_i<1$：$\prod (1+a_i)\le \frac{1}{1-\sum a_i}$，$\prod (1-a_i)\le \frac{1}{1+\sum a_i}$。

实战要点：Bernoulli 是全相等特例；概率里”至少一个事件发生”的 union bound 味道；连乘积的首选线性化工具。

G5. 几何平均超可加性（Superadditivity of GM / Mahler）

对 $a_i,b_i\ge 0$：
${\left({\prod }_{i=1}^n(a_i+b_i)\right)}^{1/n}\ge {\left({\prod }_{i=1}^n{a}_i\right)}^{1/n}+{\left({\prod }_{i=1}^n{b}_i\right)}^{1/n}$
等号：$a_i/b_i$ 全等。证明：两边除以左边，对 $\frac{a_i}{a_i+b_i}$ 与 $\frac{b_i}{a_i+b_i}$ 分别用 AM–GM 后相加。

$n=3$ 显式：$\sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}\ge \sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}$。

高频推论（Huygens 乘积形）：
${\prod }_{i=1}^n(1+a_i)\ge {\left(1+\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}\right)}^n$

实战要点：“乘积的根 ≥ 根的和”，处理 $\prod (\text{和})$ 型下界的隐藏王牌，知名度低但命中率高。

G6. 幂指排序不等式（$a^a{b}^b\ge a^b{b}^a$ 型）

对 $a,b>0$：
$a^a{b}^b\ge a^b{b}^a$
三元及推广：对任意置换 $\sigma$：
$a^a{b}^b{c}^c\ge a^{\sigma (a)}{b}^{\sigma (b)}{c}^{\sigma (c)},a^a{b}^b{c}^c\ge (abc{)}^{\frac{a+b+c}{3}}$

证明：取 $\ln$ 变为 $\sum a_i\ln a_i\ge \sum a_i\ln a_{\sigma (i)}$——排序不等式（$x$ 与 $\ln x$ 同单调）。等号：全相等。

实战要点：一切”指数与底数互相纠缠”的比较题，先取对数再排序 / 切比雪夫。

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H. 指数、对数、三角与数列估计

H1. $e^x\ge 1+x$ 与对数家族

$e^x\ge 1+x(\forall x\in \mathbb{R}),\ln x\le x-1(x>0)$
$\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x(x>-1)$
等号：均在 $x=0$（对数式在 $x=1$）。

$e$ 的夹逼：${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 严格增、${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$ 严格减，且
${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<e<{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$

高频推论：$\frac{1}{n+1}<\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}$（H3 的引擎）；$\frac{\ln x}{x}$ 在 $x=e$ 取最大 $\Rightarrow$ $e^{\pi }>{\pi }^e$，及一般的 $a^b$ vs $b^a$ 比较（$e\le a<b\Rightarrow a^b>b^a$）。

H2. 三角函数基本界

在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上：
$\sin x<x<\tan x$
Jordan 不等式：在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上：
$\frac{2x}{\pi }\le \sin x\le x$
Taylor 截断界（$x\ge 0$）：
$\sin x\ge x-\frac{x^3}{6},\cos x\ge 1-\frac{x^2}{2},\tan x\ge x+\frac{x^3}{3}\left(x<\frac{\pi }{2}\right)$

实战要点：$\sin x<x$ 由单位圆面积 / 弧长立得；Jordan 用弦的凹性。三角和式估计、极限题、以及几何题里”角度换长度”全靠这几条。精细化版本见 K14。

H3. 调和数估计与根式裂项放缩

调和数（harmonic numbers）$H_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$：
$\ln (n+1)<H_n\le 1+\ln n$
（由 $\frac{1}{k+1}<\ln \frac{k+1}{k}<\frac{1}{k}$ 叠加。）

根式裂项（竞赛估和神器）：
$2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)<\frac{1}{\sqrt{n}}<2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)$
叠加立得 $2(\sqrt{n+1}-1)<{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{n}-1$。

通用范式（积分比较, integral comparison）：$f$ 单调减时
${\int }_1^{n+1}f(x)dx\le {\sum }_{k=1}^{n}f(k)\le f(1)+{\int }_1^{n}f(x)dx$

实战要点：估计 $\sum f(k)$ 的三板斧——裂项、积分比较、与 Hermite–Hadamard（E5）加细。

H4. Stirling 公式与二项式系数界

Stirling（Robbins 双边界）：
$\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{\frac{1}{12n+1}}\le n!\le \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{\frac{1}{12n}}$
粗糙版（好记）：${\left(\frac{n}{e}\right)}^n<n!\le n^n$。

中心二项式系数（central binomial coefficient）：
$\frac{4^n}{2\sqrt{n}}\le \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)\le \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\left(\text{粗版: }\frac{4^n}{2n+1}\le \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)<4^n\right)$

一般二项式系数：
${\left(\frac{n}{k}\right)}^k\le \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\le {\left(\frac{en}{k}\right)}^k$

实战要点：组合计数下 / 上界、Bertrand 假设式论证、概率法（K17）里的指数级估计标配。

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I. 几何不等式

以下约定：三角形边 $a,b,c$，面积 $S$（或 $K$），半周长 $s$，外接圆半径 $R$，内切圆半径 $r$，重心 $G$，外心 $O$。

I1. Euler 不等式（Euler’s Inequality）

$R\ge 2r$
等号：等边三角形。来源：Euler 距离公式 $O{I}^2=R^2-2Rr\ge 0$（$I$ 为内心）。

实战要点：$s$–$R$–$r$ 体系（I6）的地基；很多三角形不等式最终都化归为 $R\ge 2r$ 或其加细。

I2. Weitzenböck 与 Hadwiger–Finsler

Weitzenböck（IMO 1961 P2）：
$a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}S$
Hadwiger–Finsler 加细：
$a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}S+(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$
等号：均为等边。证明思路：Heron + AM–GM；或 $\cot$ 形式 $\sum \cot A\ge \sqrt{3}$（见 I10）；HF 可用半角正切代换。

I3. Erdős–Mordell 不等式（Erdős–Mordell Inequality）

$P$ 为三角形内（或边界）一点，到顶点距离 $PA,PB,PC$，到三边距离 $d_a,d_b,d_c$：
$PA+PB+PC\ge 2(d_a+d_b+d_c)$
等号：等边三角形且 $P$ 为中心。关键引理：$a\cdot PA\ge b\cdot d_b+c\cdot d_c$（投影 / 相似）。

I4. Ptolemy 不等式（Ptolemy’s Inequality）

平面（或空间）任意四点 $A,B,C,D$：
$AC\cdot BD\le AB\cdot CD+AD\cdot BC$
等号：$A,B,C,D$ 依序共圆（凸圆内接四边形）。证明：反演（inversion）或复数恒等式 $(z_1-z_3)(z_2-z_4)=\cdots$ 配三角不等式。

实战要点：处理”两对角线乘积 vs 对边乘积”的唯一正解；旋转相似构造辅助点的题常暗藏它。

I5. Leibniz 不等式（Leibniz’s Inequality）

对任意点 $P$：
$P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=3P{G}^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$
等号：$P=G$（重心）。推论（取 $P=O$）：
$a^2+b^2+c^2\le 9R^2$
加权推广见 Klamkin（K6）。

I6. $s$–$R$–$r$ 体系：Gerretsen、Blundon 与经典链

Gerretsen 不等式：
$16Rr-5r^2\le s^2\le 4R^2+4Rr+3r^2$
Blundon 不等式（最紧界）：
$\left|s^2-\left(2R^2+10Rr-r^2\right)\right|\le 2(R-2r)\sqrt{R(R-2r)}$
经典链：
$3\sqrt{3}r\le s\le \frac{3\sqrt{3}}{2}R$
所有等号均为等边。

实战要点：任何对称三角形不等式都能写成 $s,R,r$ 的函数（因为 $a,b,c$ 是 $t^3-2s{t}^2+(s^2+r^2+4Rr)t-4Rrs=0$ 的根）；代入 Gerretsen/Euler 后化为二元问题——这是三角形不等式的”pqr 方法”。

I7. Padoa 不等式（Padoa’s Inequality）

对 $a,b,c\ge 0$（不必是三角形边）：
$abc\ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$
等号：$a=b=c$。身份：与 Schur $t=1$ 完全等价（F1）；三角形情形用 Ravi 代换 $a=y+z$ 等即变为 $(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz$（AM–GM）。

I8. Pedoe 不等式（Pedoe’s Inequality）

两个三角形，边分别为 $a,b,c$（面积 $T$）与 $a_1,b_1,c_1$（面积 $T_1$）：
$a_1^2(b^2+c^2-a^2)+b_1^2(c^2+a^2-b^2)+c_1^2(a^2+b^2-c^2)\ge 16T{T}_1$
等号：两三角形相似（对应边）。特例：两三角形相同 $\Rightarrow$ Weitzenböck。

I9. 等周不等式（Isoperimetric Inequality）

平面闭曲线周长 $L$、围成面积 $A$：
$L^2\ge 4\pi A$
等号：圆。多边形版：定周长的 $n$ 边形中正 $n$ 边形面积最大；三角形显式 $S\le \frac{\sqrt{3}}{36}{L}^2$（$L$ 为周长，等号等边）。

实战要点：竞赛中多以”离散版”出现（定和求积型 + 对称性论证）；完整证明超纲，可作为已知结论引用（视赛事规则）。

I10. 三角形内三角函数不等式合集

以下均对三角形内角 $A+B+C=\pi$ 成立，等号除注明外均为等边：
$\sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(=\frac{s}{R},\text{凹函数 Jensen}\right)$
$1<\cos A+\cos B+\cos C\le \frac{3}{2}\left(=1+\frac{r}{R},\text{联动 Euler}\right)$
$\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\le \frac{1}{8}\left(=\frac{r}{4R}\right)$
$\cos A\cos B\cos C\le \frac{1}{8}(\text{锐角时为正}),\sin A\sin B\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C\ge 3\sqrt{3}(\text{锐角三角形})$
$\cot A+\cot B+\cot C\ge \sqrt{3}\left(⟺a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}S\right)$
${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C\le \frac{9}{4},{\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C\ge \frac{3}{4}$

实战要点：这些恒等式–不等式对（$=$ 联系 $s,R,r$，$\le$ 给界）是几何与代数互译的字典；正弦定理 $a=2R\sin A$ 一键切换两界。

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第二部分：冷门 / 高端专区（按使用频率降序）

K1. Iran 1996 不等式

对 $a,b,c\ge 0$（不全为零）：
$(ab+bc+ca)\left[\frac{1}{(a+b{)}^2}+\frac{1}{(b+c{)}^2}+\frac{1}{(c+a{)}^2}\right]\ge \frac{9}{4}$
等号：$a=b=c$，或 $(a,b,c)\sim (t,t,0)$ 及其置换——双等号点是它臭名昭著的原因（对称工具全部失灵）。地位：SOS 方法的试金石 / 毕业考；标准解法为通分后 SOS + 判据 3。

K2. Cîrtoaje 循环平方不等式（Cîrtoaje’s Inequality）

对任意实数 $a,b,c$：
${\left(a^2+b^2+c^2\right)}^2\ge 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$
等号：$a=b=c$，另存在一组非平凡的循环等号点（这正是它极难用常规方法证明的原因；标准证法是精心构造的 SOS：LHS−RHS $=\frac{1}{2}\sum {\left(a^2-2ab+bc-c^2+ca\right)}^2$ 型分解）。地位：轮换（非对称）不等式的天花板级例题。

K3. Turkevici 不等式（Turkevici’s Inequality）

对 $a,b,c,d\ge 0$：
$a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd\ge a^2{b}^2+a^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2+b^2{d}^2+c^2{d}^2$
等号：$a=b=c=d$，或 $(t,t,t,0)$ 及其置换（注意 $(t,t,0,0)$ 代入得 $2t^4>t^4$，不取等——边界等号只在”三等一零”处）。地位：四元 Schur 味道的代表作；EV 定理（F6）的标准演武场。

K4. Surányi 不等式（Surányi’s Inequality）

对 $a_1,\dots ,a_n\ge 0$：
$(n-1){\sum }_{i=1}^n{a}_i^n+n{\prod }_{i=1}^n{a}_i\ge \left({\sum }_{i=1}^n{a}_i\right)\left({\sum }_{i=1}^n{a}_i^{n-1}\right)$
特例：$n=3$ 即 Schur $t=1$。地位：Schur 的 $n$ 元化身，归纳 + 对称化证明。

K5. Hlawka 不等式（Hlawka’s Inequality）

内积空间中任意向量（含实数、复数、平面向量）$\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}$：
$\Vert \mathbf{x}+\mathbf{y}\Vert +\Vert \mathbf{y}+\mathbf{z}\Vert +\Vert \mathbf{z}+\mathbf{x}\Vert \le \Vert \mathbf{x}\Vert +\Vert \mathbf{y}\Vert +\Vert \mathbf{z}\Vert +\Vert \mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}\Vert$
地位：三角不等式的”三元精细化”；向量 / 复数模长题的隐藏 boss，展开平方 + 恒等式可证。

K6. Klamkin 不等式（Klamkin’s Polar Moment Inequality）

三角形 $ABC$、任意点 $P$、任意实数 $x,y,z$：
$(x+y+z)\left(xP{A}^2+yP{B}^2+zP{C}^2\right)\ge yz{a}^2+zx{b}^2+xy{c}^2$
特例：$x=y=z=1$ 退化为 Leibniz（I5）。地位：一条式子生成无穷多几何不等式（代不同权重），加权几何题的母定理。

K7. Chebyshev 积分不等式（Chebyshev’s Integral Inequality）

$f,g$ 在 $[a,b]$ 上同单调（同增或同减）：
$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\ge \left(\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\right)\left(\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}g\right)$
反单调时反向。地位：D2 的连续版；期望语言即 $\mathrm{Cov}(f(X),g(X))\ge 0$（同单调）。

K8. Grüss 不等式（Grüss’ Inequality）

若 $m_1\le f\le M_1$，$m_2\le g\le M_2$ 于 $[a,b]$：
$\left|\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}fg-\frac{1}{(b-a{)}^2}{\int }_a^{b}f{\int }_a^{b}g\right|\le \frac{1}{4}(M_1-m_1)(M_2-m_2)$
常数 $\frac{1}{4}$ 最优。地位：K7 的定量化（“协方差有多大”），分析型竞赛可见。

K9. Steffensen 不等式（Steffensen’s Inequality）

$f$ 在 $[a,b]$ 上非增，$0\le g\le 1$，记 $\lambda ={\int }_a^{b}g$：
${\int }_{b-\lambda }^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\le {\int }_a^{a+\lambda }f(x)dx$
直觉：权重 $g$ 全部”压到左端 / 右端”是两个极端。地位：积分重排思想的入门件。

K10. Carleman 不等式（Carleman’s Inequality）

对非负项、$\sum a_n$ 收敛：
${\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(a_1{a}_2\cdots a_n\right)}^{1/n}\le e{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$
常数 $e$ 最优且不可取等（除全零外严格）。证明梗：对 $\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$ 配权 $c_k=\frac{(k+1{)}^k}{k^{k-1}}$ 后 AM–GM。

K11. Hardy 不等式（Hardy’s Inequality）

$p>1$，$a_n\ge 0$，$A_n=a_1+\cdots +a_n$：
${\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{A_n}{n}\right)}^p\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n^p$
常数最优。积分版：${\int }_0^{\infty }{\left(\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f\right)}^{p}dx\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p{\int }_0^{\infty }{f}^p$。关系：$p\to \infty$ 极限即 Carleman。

K12. Hilbert 不等式（Hilbert’s Inequality）

${\sum }_{m=1}^{\infty }{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_m{b}_n}{m+n}\le \pi {\left(\sum a_m^2\right)}^{1/2}{\left(\sum b_n^2\right)}^{1/2}$
常数 $\pi$ 最优；一般 $L^p$ 版常数为 $\frac{\pi }{\sin (\pi /p)}$。地位：双重求和估计的巅峰经典（Putnam 风味）。

K13. Hadamard 行列式不等式（Hadamard’s Inequality）

对实（复）矩阵 $A$ 的列向量 ${\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_n$：
$|\det A|\le {\prod }_{j=1}^n\Vert {\mathbf{a}}_j{\Vert }_2$
等号：列向量两两正交（或有零列）。直觉：平行体体积 ≤ 边长乘积。Putnam / 大学赛高频。

K14. Wilker 与 Cusa–Huygens 不等式

在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上：
$\text{Wilker:}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2+\frac{\tan x}{x}>2$
$\text{Cusa–Huygens:}\frac{\sin x}{x}<\frac{2+\cos x}{3}$
$\text{Huygens（三角版）:}2\sin x+\tan x>3x$
地位：H2 的精细化梯队；三者可互推（Cusa ⇒ Huygens 由 AM–GM）。

K15. Shapiro 循环不等式（Shapiro’s Inequality）

对 $x_i\ge 0$（分母为正），下标模 $n$：
${\sum }_{i=1}^n\frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}\stackrel{?}{\ge }\frac{n}{2}$
惊人事实：仅当 偶数 $n\le 12$ 或奇数 $n\le 23$ 时恒成立，更大的 $n$ 存在反例；渐近下确界为 $\gamma \cdot \frac{n}{2}$，$\gamma \approx 0.98913$（Drinfeld）。地位：Nesbitt 推广的著名”翻车现场”，教育意义：轮换 $\ne$ 对称，直觉会骗人。

K16. Turán 定理（Turán’s Theorem）

不含 $K_{r+1}$（完全图）的 $n$ 阶简单图，边数满足：
$e(G)\le \left(1-\frac{1}{r}\right)\frac{n^2}{2}$
等号：Turán 图（均衡完全 $r$ 部图）。特例 $r=2$ 即 Mantel 定理 $e\le \lfloor n^2/4\rfloor$。地位：极值图论第一定理，组合赛”禁子图 → 边数上界”母题。

K17. Markov 与 Chebyshev 不等式（概率版）

$X\ge 0$，$t>0$：
$\text{Markov:}\mathbb{P}(X\ge t)\le \frac{\mathbb{E}[X]}{t}$
任意 $X$（方差存在）：
$\text{Chebyshev:}\mathbb{P}\left(|X-\mu |\ge t\right)\le \frac{{\sigma }^2}{t^2}$
地位：概率方法（probabilistic method）的两把起手刀——“期望小 ⇒ 存在小的个体”，组合构造 / 存在性题的现代主流工具。

K18. LYM 不等式（Lubell–Yamamoto–Meshalkin）

$\mathcal{F}$ 为 $\{1,\dots ,n\}$ 的反链（antichain，互不包含）：
${\sum }_{A\in \mathcal{F}}\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{|A|}\right)}\le 1$
推论（Sperner 定理）：$|\mathcal{F}|\le \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\lfloor n/2\rfloor }\right)$。证明梗：数极大链，每条链至多穿过反链一次（双计数）。

K19. Kraft 不等式（Kraft’s Inequality）

二叉前缀码（prefix code）码长 ${\ell }_1,\dots ,{\ell }_m$（等价：二叉树叶深度）：
${\sum }_{i=1}^m{2}^{-{\ell }_i}\le 1$
且任何满足此式的长度组都能实现。地位：树 / 编码类组合题的守恒律，信息论第一不等式。

K20. Jung 定理（Jung’s Theorem）

平面上直径为 $d$ 的点集，可被半径
$R\le \frac{d}{\sqrt{3}}$
的圆盘覆盖（${\mathbb{R}}^n$ 中 $R\le d\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}$）。等号：等边三角形顶点。地位：覆盖类组合几何的基准常数。

K21. Ono 不等式（Ono’s Inequality）

仅对锐角三角形（面积 $K$）：
$27{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2{\left(c^2+a^2-b^2\right)}^2{\left(a^2+b^2-c^2\right)}^2\le (4K{)}^6$
等号：等边。历史彩蛋：1914 年 Ono 原本对所有三角形提出，两年后被钝角反例推翻——现以”带反例的定理”闻名，提醒后人验证边界情形。

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附录 T：实战技巧速查（Techniques Cheat Sheet）

T1. 齐次化 / 归一化（Homogenization / Normalization）：条件 $abc=1$、$a+b+c=3$ 等 ⇔ 乘以 ${\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^k$ 或 $(abc{)}^{k/3}$ 配平次数。齐次式可 WLOG 设 $p=1$ 或 $q=1$ 或 $r=1$（选让代数最干净的那个）。

T2. 代换字典（Substitutions）：

• Ravi：三角形边 $a=y+z,b=z+x,c=x+y$（$x,y,z>0$），三角形约束消失；
• 倒代换：$x\to 1/x$ 翻转分式结构；
• $abc=1$ 型：$a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$（注意可能引入轮换性丢失对称性）；
• 三角代换：$x=\tan \frac{A}{2}$ 等把 $xy+yz+zx=1$ 变成角条件；$x=\cos A$ 处理 $[0,1]$ 约束。

T3. 平滑 / 调整法（Smoothing）与端点原理：证明”把两个变量拉近（或推向边界）目标单调变化”，反复操作把极值压到全等点或边界点。凸目标 → 极值在端点；凹目标 → 极值在内部均值点。

T4. 切线 / 割线技巧：内部等号 → 切线（E2）；边界等号或凹区间 → 割线（chord）：$f(x)\le$ 连接两端点的线性函数。

T5. SOS 流程：移项通分 → 目标写成 $\sum S_a(b-c{)}^2$（查 F4 配方字典）→ 查判据 1–4 → 失败则混用 Schur / 调整 $S$ 的分组。

T6. Buffalo Way（暴力展开）：WLOG $a\ge b\ge c$，令 $c=t,b=t+u,a=t+u+v$（$u,v\ge 0$）代入展开——所有系数若非负即证毕。适合低次、对称、无根号的顽固残局（美感为零，成功率极高）。

T7. 求导 / Lagrange 乘子（探路用）：先用微积分找出极值点与等号结构，再回头用初等方法组织证明；正式解答中单独使用需完整论证边界与二阶条件（多数奥赛不推荐作为主干）。

T8. Hölder 幂次配平法（degree bookkeeping）：要证 ${\left(\sum f_i\right)}^{\alpha }{\left(\sum g_i\right)}^{\beta }\ge {\left(\sum h_i\right)}^{\alpha +\beta }$，需 $h_i=f_i^{\frac{\alpha }{\alpha +\beta }}{g}_i^{\frac{\beta }{\alpha +\beta }}$——先写目标右端，反解各列应放什么。

T9. 等号预判定权重：一切加权 AM–GM / 柯西的权重都由”猜出的等号点”反解（待定系数法）。先猜等号（全等？边界 $(t,t,0)$？），再定系数，命中率决定效率。

T10. 方向自检清单：轮换还是对称？（Muirhead/排序仅限对称）变量能否为 0？（Schur/Iran96 型边界等号）齐次吗？（不齐次先齐次化）分母正吗？（Titu/Radon 前提）——四问过完再动笔。

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完。共 69 条主词条 + 附录 10 条技巧。冷门条目（尤其 K2、K6、K21 与 F6 的精确适用条件）在正式比赛引用前建议核对原始文献表述。

Confidence: 0.90 | 编写：Claude，2026-07