Auxiliary angle formula

辅助角公式(auxiliary angle formula)是把”正弦项 + 余弦项”合并成单个三角函数的工具。

公式本体

$a\sin \theta +b\cos \theta =R\sin (\theta +\phi )$

其中:

• 振幅(amplitude) $R=\sqrt{a^2+b^2}$
• 相位角(phase angle) $\phi$ 满足 $\cos \phi =\frac{a}{R},\sin \phi =\frac{b}{R}$,即 $\tan \phi =\frac{b}{a}$

也可以合并成余弦形式: $a\sin \theta +b\cos \theta =R\cos (\theta -\psi ),\tan \psi =\frac{a}{b}$

为什么成立(一句话原理)

把 $R\sin (\theta +\phi )$ 用和角公式(sum formula)展开: $R\sin (\theta +\phi )=R\cos \phi \sin \theta +R\sin \phi \cos \theta$

对比 $a\sin \theta +b\cos \theta$,只要 $R\cos \phi =a$ 且 $R\sin \phi =b$。两式平方相加就得到 $R=\sqrt{a^2+b^2}$,相除就得到 $\tan \phi =b/a$。本质就是把系数 $(a,b)$ 看成一个向量,$R$ 是它的长度,$\phi$ 是它的方向角。

回到我们那道题

之前分母出现 $\sqrt{3}\cos \theta +\sin \theta$。这里对应 $\sin \theta$ 的系数 $a=1$,$\cos \theta$ 的系数 $b=\sqrt{3}$:

$R=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$ $\tan \phi =\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}⟹\phi =\frac{\pi }{3}$

所以 $\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sin !(\theta +\frac{\pi }{3})$

或者写成我之前用的余弦形式 $2\cos !(\theta -\frac{\pi }{6})$——两者相等,因为 $\sin (\theta +\frac{\pi }{3})=\cos (\theta +\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2})=\cos (\theta -\frac{\pi }{6})$。

一个记忆技巧

系数向量 $(a,b)$ 的模长就是 $R$,方向角就是 $\phi$。合并三角函数 = 把两个分量的振动**矢量合成(vector composition)**成一个。这也是为什么物理里两个同频简谐振动(simple harmonic motion)叠加能用它——本质是同一个数学结构。

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Confidence: 0.99。 关键 caveat:用 $\tan \phi =b/a$ 定 $\phi$ 时要结合 $a,b$ 的正负判断象限,不能只看正切值(否则可能差 $\pi$)。稳妥做法是同时用 $\cos \phi =a/R$ 和 $\sin \phi =b/R$ 两个式子唯一确定 $\phi$。

(本回复不含 Python 代码,故无需附镜像安装说明。)