Mean Inequalities

均值不等式完整版（Mean Inequalities）

竞赛数学 / 分析学核心工具速查表 · Reference for Competition Math & Analysis

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核心链条：调和 ≤ 几何 ≤ 算术 ≤ 平方

对于 $n$ 个正实数 $a_1,a_2,\dots ,a_n>0$，定义四个均值：

调和平均（Harmonic Mean, HM）

$H=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}}=\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}$

几何平均（Geometric Mean, GM）

$G=\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}={\left({\prod }_{i=1}^n{a}_i\right)}^{1/n}$

算术平均（Arithmetic Mean, AM）

$A=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i$

平方平均 / 均方根（Quadratic Mean / Root Mean Square, QM/RMS）

$Q=\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}{n}}=\sqrt{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i^2}$

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主不等式链（The Chain: HM–GM–AM–QM Inequality）

$\boxed{H\le G\le A\le Q}$

即：

$\frac{n}{\sum \frac{1}{a_i}}\le \sqrt[n]{\prod a_i}\le \frac{\sum a_i}{n}\le \sqrt{\frac{\sum a_i^2}{n}}$

等号条件（Equality Condition）：所有等号成立 当且仅当 $a_1=a_2=\cdots =a_n$。

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广义版本：幂平均不等式（Power Mean Inequality）

上面四个只是幂平均 $M_p$ 在 $p=-1,0,1,2$ 时的特例。定义 $p$ 次幂平均：

$M_p={\left(\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i^p\right)}^{1/p},(p\ne 0)$

而 $p=0$ 时用连续极限定义（正好等于几何平均）：

$M_0={\lim }_{p\to 0}{M}_p=\sqrt[n]{\prod a_i}=G$

幂平均不等式：若 $p<q$，则

$M_p\le M_q$

等号成立当且仅当所有 $a_i$ 相等。对应关系：

名称	记号	$p$ 值	表达式
最小值 (Min)	$M_{-\infty }$	$p\to -\infty$	$\min \{a_i\}$
调和平均 (HM)	$M_{-1}$	$p=-1$	$\frac{n}{\sum 1/a_i}$
几何平均 (GM)	$M_0$	$p=0$	$\sqrt[n]{\prod a_i}$
算术平均 (AM)	$M_1$	$p=1$	$\frac{1}{n}\sum a_i$
平方平均 (QM)	$M_2$	$p=2$	$\sqrt{\frac{1}{n}\sum a_i^2}$
立方平均 (Cubic Mean)	$M_3$	$p=3$	${\left(\frac{1}{n}\sum a_i^3\right)}^{1/3}$
最大值 (Max)	$M_{+\infty }$	$p\to +\infty$	$\max \{a_i\}$

所以完整链条其实是：

$\min \le \cdots \le H\le G\le A\le Q\le \cdots \le \max$

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带权版本（Weighted Version）

给定权重 $w_1,\dots ,w_n>0$ 且 ${\sum }_{i=1}^n{w}_i=1$：

加权 AM–GM（Weighted AM–GM）

$w_1{a}_1+w_2{a}_2+\cdots +w_n{a}_n\ge a_1^{w_1}{a}_2^{w_2}\cdots a_n^{w_n}$

注意：权重在算术侧当系数，在几何侧当指数。二者通过取对数 $\ln$ 互相转换。普通 AM–GM 即所有 $w_i=\frac{1}{n}$ 的特例。

加权 HM / GM / AM 三项形式

$\underset{\text{加权 HM}}{\underbrace{\frac{1}{\sum w_i/a_i}}}\le \underset{\text{加权 GM}}{\underbrace{\prod _i{a}_i^{w_i}}}\le \underset{\text{加权 AM}}{\underbrace{\sum _i{w}_i{a}_i}}$

加权幂平均（Weighted Power Mean）

$M_p^{(w)}={\left({\sum }_{i=1}^n{w}_i{a}_i^p\right)}^{1/p},M_0^{(w)}={\prod }_i{a}_i^{w_i}$

同样满足 $p<q\Rightarrow M_p^{(w)}\le M_q^{(w)}$，等号当且仅当所有 $a_i$ 相等。

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两个变量的具体形态（$n=2$，竞赛最常用）

对 $a,b>0$：

$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

化简后调和平均那项 $=\frac{2ab}{a+b}$。

几个有用的等价推论（Corollaries）

• $a+b\ge 2\sqrt{ab}$（最常用形式）
• $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$
• $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$
• $a^2+b^2\ge 2ab$，即 $\frac{a^2+b^2}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$
• $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$（调和—算术推论，常用于分式求最值）

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证明思路速览（Proof Sketches）

AM–GM 的经典证法

• Cauchy 前向–后向归纳法（Forward–Backward Induction）：先证 $n=2^k$，再用 $a_n=A_{n-1}$（前 $n-1$ 项的算术平均）回填，补齐任意 $n$。
• Jensen 不等式：$\ln x$ 是凹函数（concave），对 $\ln$ 用 Jensen 直接得到。
• 调整法 / 光滑化（Smoothing）：把不相等的两个数往平均值靠拢，和不变而乘积增大，反复调整直到全相等。

GM ≥ HM：对 $\frac{1}{a_i}$ 应用 AM–GM 即可（取倒数会把不等号方向翻转）。

AM ≤ QM：等价于 Cauchy–Schwarz 不等式，或直接展开 $\sum (a_i-\bar{a}{)}^2\ge 0$ 得到。

幂平均单调性：令 $f(p)=\ln M_p$，可证 $f$ 关于 $p$ 单调不减；或对凸函数 $x\mapsto x^{q/p}$（$q>p>0$）用 Jensen。

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关键提醒（Key Caveats）

• 所有这些都要求 $a_i>0$（尤其 GM、HM 需要正数；QM 和 AM 在实数上也能定义，但整条链的关系依赖正性）。
• $M_0$ 的定义靠极限，不能直接把 $p=0$ 代进幂平均公式（会除零）。
• 等号条件永远是”全部相等”，竞赛里这是取到边界值的关键，别漏。
• 加权版本必须满足 $\sum w_i=1$，否则形式要相应修改。

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confidence: 0.98 — 内容覆盖 HM/GM/AM/QM 主链、幂平均广义化、加权版本、二元特例与证明思路，符合竞赛与分析学标准表述。