Vieta's Formulas & Newton's Identities

一、高次韦达定理（Vieta’s Formulas）

韦达定理给出多项式的系数与**根的初等对称多项式（elementary symmetric polynomials）之间的关系。

设 $n$ 次多项式：

$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,a_n\ne 0$

它的 $n$ 个根（计重数）为 $r_1,r_2,\dots ,r_n$。

定义初等对称多项式 $e_k$ = 所有「从 $n$ 个根里取 $k$ 个相乘」的项之和：

$e_1={\sum }_i{r}_i,e_2={\sum }_{i<j}{r}_i{r}_j,e_3={\sum }_{i<j<k}{r}_i{r}_j{r}_k,\dots ,e_n=r_1{r}_2\cdots r_n$

韦达定理：

$\boxed{e_k=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}}$

展开写就是：

$e_1=-\frac{a_{n-1}}{a_n},e_2=\frac{a_{n-2}}{a_n},e_3=-\frac{a_{n-3}}{a_n},\dots ,e_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}$

符号规律： 系数比前面的正负号是 $(-1{)}^k$，$k$ 是取根的个数。奇数个根 → 负号，偶数个 → 正号。

最常见的例子（二次、三次）：

二次 $a{x}^2+bx+c$，根 $r_1,r_2$：

$r_1+r_2=-\frac{b}{a},r_1{r}_2=\frac{c}{a}$

三次 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d$，根 $r_1,r_2,r_3$：

$e_1=r_1+r_2+r_3=-\frac{b}{a},e_2=\sum r_i{r}_j=\frac{c}{a},e_3=r_1{r}_2{r}_3=-\frac{d}{a}$

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二、牛顿和 / 牛顿恒等式（Newton’s Identities）

牛顿和处理的是幂和（power sums），定义：

$p_k=r_1^k+r_2^k+\cdots +r_n^k$

也就是「所有根的 $k$ 次方之和」。注意区别：$e_k$ 是乘积之和，$p_k$ 是幂之和。

牛顿恒等式建立了 $p_k$ 和 $e_k$ 之间的递推桥梁。

形式一（$k\le n$，前几项要特别记）：

$p_1=e_1$ $p_2=e_1{p}_1-2e_2$ $p_3=e_1{p}_2-e_2{p}_1+3e_3$ $p_4=e_1{p}_3-e_2{p}_2+e_3{p}_1-4e_4$

通项规律（$k\le n$ 时）：

$p_k=e_1{p}_{k-1}-e_2{p}_{k-2}+e_3{p}_{k-3}-\cdots +(-1{)}^{k-1}k,e_k$

注意最后一项有个 $k$ 的系数，而且这一项只在 $k\le n$ 时出现。

形式二（$k>n$，递推不再有 $e_k$ 那一项）：

当 $k>n$ 时，因为 $e_{n+1},e_{n+2},\dots$ 全是 0，递推变得很干净：

$p_k=e_1{p}_{k-1}-e_2{p}_{k-2}+\cdots +(-1{)}^{n-1}{e}_n,p_{k-n}$

这个本质就是：每个根都满足原方程 $P(r_i)=0$，把方程乘 $r_i^{k-n}$ 再对所有根求和，就得到这个线性递推。

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三、为什么这俩要一起用

很多竞赛题问的是「求 $r_1^k+r_2^k+\cdots$」或者「求某个对称表达式」，但题目只给你方程的系数。流程是：

系数 $\stackrel{\text{韦达}}{\to }$ 初等对称多项式 $e_k$ $\stackrel{\text{牛顿}}{\to }$ 幂和 $p_k$

韦达把系数翻译成 $e_k$，牛顿把 $e_k$ 翻译成 $p_k$，配合起来就能算任意次幂和。

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四、完整例题演示

例题： 设 $x^3-2x^2+3x-4=0$ 的三个根为 $r_1,r_2,r_3$。求 $p_1,p_2,p_3,p_4$（即各根的 1 到 4 次方和）。

第一步：韦达求 $e_k$

$a=1,b=-2,c=3,d=-4$：

$e_1=-\frac{b}{a}=2,e_2=\frac{c}{a}=3,e_3=-\frac{d}{a}=4$

第二步：牛顿求 $p_k$

$p_1$：

$p_1=e_1=2$

$p_2$：

$p_2=e_1{p}_1-2e_2=2\cdot 2-2\cdot 3=4-6=-2$

$p_3$（$k=n=3$，最后一项带 $3e_3$）：

$p_3=e_1{p}_2-e_2{p}_1+3e_3=2\cdot (-2)-3\cdot 2+3\cdot 4=-4-6+12=2$

$p_4$（$k=4>n=3$，用形式二，没有 $e_4$ 项）：

$p_4=e_1{p}_3-e_2{p}_2+e_3{p}_1=2\cdot 2-3\cdot (-2)+4\cdot 2=4+6+8=18$

答案：

$p_1=2,p_2=-2,p_3=2,p_4=18$

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五、记忆要点（速查）

要点包括：韦达的符号是 $(-1{)}^k$，取奇数个根带负号；牛顿前三个 $p_1=e_1$、$p_2=e_1{p}_1-2e_2$、$p_3=e_1{p}_2-e_2{p}_1+3e_3$ 必须背熟；当 $k\le n$ 时递推末项是 $(-1{)}^{k-1}k,e_k$（注意那个孤零零的系数 $k$）；当 $k>n$ 时递推退化成 $n$ 阶线性递推，不再有 $e_k$ 单独项。

Confidence: 0.97

补充一句我的看法：竞赛里真正容易出错的地方不是公式本身，而是 $k=n$ 那个临界点——很多人会忘记末项的 $k,e_k$ 系数，或者在 $k>n$ 时还硬塞一个 $e_k$ 进去。建议做题时先明确写出 $n$ 是多少，然后逐项对照「现在 $k$ 比 $n$ 大还是小」，能避开 90% 的失误。

你这句”$p$ 是负数”有两种可能的意思，我分开说，重点讲第二种（更可能是你想问的）。

情形一：算出来的 $p_k$ 值是负数。 这没有任何特殊处理——幂和(power sum)本来就可以是负的（根有负数或复数时很正常）。比如刚那份考卷 P3 里 $p_3=-6$、$p_4=-19$，全是直接用递推 $p_k=e_1{p}_{k-1}-e_2{p}_{k-2}+e_3{p}_{k-3}$ 推出来的，负号照常参与运算，不用管它。

情形二：下标 $k$ 是负数，即负次幂和(negative power sum) $p_{-k}={\sum }_i\frac{1}{r_i^{,k}}$。 这才是真正需要技巧的，方法是：

对”反转多项式(reversed polynomial)“跑普通牛顿。

原理（一句话）： 设 $r$ 是 $P(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0=0$ 的非零根，两边除以 $r^n$，令 $y=1/r$，就得到 $a_0{y}^n+a_1{y}^{n-1}+\cdots +a_n=0$。所以 $1/r_i$ 恰好是系数倒序那个多项式 $P^{\ast }$ 的根。于是原多项式的负次幂和 = 反转多项式的正次幂和，普通牛顿直接套。

实操三步：

1. 把系数倒序写出 $P^{\ast }$。
2. 它的初等对称多项式直接是原多项式的比值：$e_k^{\ast }=\frac{e_{n-k}}{e_n}$。也就是 $\sum \frac{1}{r_i}=\frac{e_{n-1}}{e_n}$、${\sum }_{i<j}\frac{1}{r_i{r}_j}=\frac{e_{n-2}}{e_n}$……
3. 对这些 $e_k^{\ast }$ 跑牛顿，得到的 $p_1^{,}{p}_2^{\ast },\dots$ 就是 $p_{-1},p_{-2},\dots$。

例子（就用 P3 的 $x^3-3x^2+4x-1$，$e_1=3,e_2=4,e_3=1$）： 反转后是 $x^3-4x^2+3x-1$，所以 $e_1^{\ast }=\frac{e_2}{e_3}=4,e_2^{\ast }=\frac{e_1}{e_3}=3,e_3^{\ast }=\frac{1}{e_3}=1$。牛顿：

$p_{-1}=e_1^{\ast }=4$
$p_{-2}=e_1^{\ast }{p}_{-1}-2e_2^{\ast }=4\cdot 4-2\cdot 3=10$ （正好就是 P3(c) 的 $\sum 1/r_i^2$） $p_{-3}=e_1^{\ast }{p}_{-2}-e_2^{\ast }{p}_{-1}+3e_3^{\ast }=40-12+3=31$

一个硬约束： 必须 $a_0\ne 0$（即没有零根），否则 $1/r_i$ 没定义，负次幂和不存在。

小验证脚本：

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
r = sp.Poly(x**3 - 3*x**2 + 4*x - 1, x).all_roots()
for k in [1, 2, 3]:
    print(f"p_-{k} =", sp.nsimplify(sp.simplify(sum(1/ri**k for ri in r))))
# 期望输出: 4, 10, 31
 
# pip install sympy -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

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Confidence: 0.97 ｜ 反转多项式法是标准做法，例子与考卷 P3(c) 答案 $10$ 自洽。 Caveats: 若你问的其实是情形一（值为负），那答案就是”不用特殊处理”；另外这套方法只适用于无零根的多项式。