Euler’s Graph Formula（欧拉图公式）
置信度：0.98
核心公式
对于任何连通的平面图（connected planar graph）：
- = 顶点（vertices）数量
- = 边（edges）数量
- = 面（faces）数量，包括最外面的无限大区域（外部面）
直观理解
想象把一个图画在纸上，边不交叉。这些边会把平面切成若干块区域，每一块就是一个”面”。别忘了图形外面那一整片无限大的区域也算一个面。
举个例子——一个正方形：
- 4 个顶点：
- 4 条边：
- 2 个面：里面 1 个 + 外面 1 个，
代入： ✓
为什么恒等于 2（归纳法思路）
基础情形：只有 1 个顶点、0 条边的图。（只有外部面），得 ✓
归纳步骤：往图里加东西，公式始终守恒：
- 加一条边 + 一个新顶点（延伸出去）： 加 1， 加 1， 不变。 抵消，总和不变。
- 加一条边连接两个已有顶点（形成环）： 加 1，同时把一个面切成两个， 加 1。 抵消，总和不变。
因为每一步都不改变 ，所以它永远等于初始值 2。
适用条件（关键 caveats）
- 图必须是平面图（能画在平面上且边不交叉）。
- 图必须是连通的（connected）。如果有 个连通分量，公式变为：。
- 曲面不同结果不同：这个 “2” 其实是球面的欧拉示性数（Euler characteristic）。环面（torus，甜甜圈形状）上是 0。
一个常用推论
对于顶点数 的简单连通平面图，可推出：
这个不等式常用来证明某个图不是平面图。比如 （5 个顶点两两相连）有 ，而 ，所以 不可能是平面图。
关键提醒：面的计数一定要记得算上外部那个无限大的面，这是初学者最常犯的错误。