Stage 3 — 向量空间与四个基本子空间

Stage 3 — 向量空间与四个基本子空间 (Vector Spaces & the Four Fundamental Subspaces)

这个 Stage 你将学到什么

这是整门课从”算”到”想”的分水岭。前两个 Stage 你在解方程、做消元;这里你要学会用”空间”的语言重新理解你一直在做的事。读完你应该能:

• 说清向量空间 (vector space)、子空间 (subspace) “到底是什么、为什么要这么抽象”;
• 把 Stage 1 埋的张成 (span)、线性无关 (linear independence) 正式化,并理解基 (basis) 和维数 (dimension) 的本质;
• 掌握 Strang 的招牌——四个基本子空间(列空间、零空间、行空间、左零空间),知道每一个”装的是什么、回答什么问题、怎么算”;
• 理解秩 (rank) 和秩–零化度定理 (Rank–Nullity Theorem),并用它们一眼看穿 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 何时可解、解有多少。

怎么读这份讲义(重要)

这一阶段概念多、抽象,是很多人觉得线代”突然变难”的地方,也是 21-241 开始密集要求写证明的地方。所以我给每个新词都配了”是什么(本质)→ 为什么存在(动机)→ 怎么用/算”三段——别跳过”为什么”,那才是理解的关键。

• ★ = 必须吃透;➕ = 拓展。
• > [!question] 自测题答案可折叠。
• 本讲义的北极星:一切都围绕一句话——”$A\mathbf{x}$ 是 $A$ 各列的线性组合”(Stage 1 那句)。四个子空间,不过是把这句话里外看四遍。

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0. 先建立心态:为什么要从”矩阵”升级到”空间”?

前两个 Stage,矩阵对你来说是”一张数表 + 一套消元手续”。但这样看,你只会算,不会懂——你能解出 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$,却答不出”它为什么有解 / 无解 / 无穷多解”。

Stage 3 换一个视角:把矩阵看成一个”把向量搬来搬去”的机器,然后研究这台机器的几何行为——它能把输入搬到哪些地方(列空间)?哪些输入被它压成了零(零空间)?一旦你会用”空间”描述这些,前面所有关于”解的个数”的问题,答案都变得一目了然。

贯穿全篇的元洞察

解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一切,都能翻译成两个子空间的问题:

• “有没有解” = ”$\mathbf{b}$ 在不在 $A$ 能到达的地方(列空间)里”;
• “解唯不唯一” = ”$A$ 有没有把非零向量压成零(零空间大不大)”。
  把这两句话吃透,Stage 3 就通了一大半。

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1. 向量空间与子空间 (Vector Spaces & Subspaces)

1.1 什么是向量空间 (Vector Space) ★

是什么(本质):向量空间就是一个”能做加法和数乘、并且这两种操作规规矩矩”的集合。“规规矩矩”指满足 8 条自然规则(加法交换、结合、有零向量、有相反数;数乘的分配律、结合律、$1\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}$ 等)。你不用背这 8 条——它们全都是”你早就默认成立”的性质。

为什么存在(动机):这才是关键。数学家发现,很多看起来毫不相干的东西,都满足这同一套规则:

• ${\mathbb{R}}^n$ 里的箭头向量;
• 所有 $2\times 2$ 矩阵;
• 所有次数 $\le 3$ 的多项式;
• 所有连续函数……

既然它们结构相同,那只要对”抽象的向量空间”证明一个定理,这个定理就对上面所有东西同时成立——一次证明,处处适用。这就是抽象的威力:用一套语言统一一大类对象,避免对每种东西重复劳动。

为什么要抽象成公理

不是数学家喜欢故弄玄虚。抽象 = 提取共性 + 一次性证明。你在 ${\mathbb{R}}^n$ 里学到的”基、维数、线性无关”,一字不改就能用到多项式、矩阵、函数上——因为它们都是向量空间。这种”降维打击”式的复用,是线代能横扫 ML / 图形学 / 微分方程的根本原因。

对你(竞赛/CS 背景)的类比

像面向对象里的”接口 (interface)“:只要一个类实现了 VectorSpace 接口(加法 + 数乘 + 8 条规则),它就能用所有”针对该接口写的算法”。${\mathbb{R}}^n$、多项式、矩阵都是这个接口的不同”实现”。

1.2 什么是子空间 (Subspace) ★

是什么(本质):子空间是”一个向量空间里面,那些自己也构成向量空间的子集”。直观说,是过原点的”平的”一块——直线、平面、以及高维的推广。

为什么存在(动机):因为我们真正关心的对象(列空间、零空间……)都不是”整个 ${\mathbb{R}}^n$“,而是它里面某一片有结构的区域。子空间就是描述这些区域的工具。

怎么用(判定):一个子集 $W$ 是子空间,当且仅当满足三条(合称”对线性运算封闭”):

1. 含零向量:$0\in W$;
2. 对加法封闭:$\mathbf{u},\mathbf{v}\in W\Rightarrow \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W$;
3. 对数乘封闭:$\mathbf{v}\in W,c\in \mathbb{R}\Rightarrow c\mathbf{v}\in W$。

最常见的判定坑:必须过原点

“不过原点”的东西不是子空间。比如平面上直线 $x+y=1$:取原点 $(0,0)$,$0+0=0\ne 1$,不含零向量,直接出局。而 $x+y=0$(过原点的直线)是子空间。
一句话检验:先看含不含 $0$——不含,立刻不是子空间,秒杀。

例:判定两条直线

命题:$W_1=\{(x,y):x+y=0\}$ 是子空间;$W_2=\{(x,y):x+y=1\}$ 不是。
证明:$W_2$ 不含 $0$($0+0=0\ne 1$),违反第 1 条,故不是子空间。$W_1$ 含 $0$;若 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in W_1$(即两坐标和为 0),则其和的坐标和 $=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=0$,数乘 $c(x,y)$ 坐标和 $=c\cdot 0=0$,三条全过。$■$

本质:子空间是”过原点、且怎么加怎么缩放都跑不出去”的一片区域。

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2. 张成、线性无关、基、维数 (Span, Independence, Basis, Dimension)

这四个词是描述”一个子空间有多大、用几个向量能撑起它”的核心工具。Stage 1 预览过前两个,这里正式化并补齐后两个。

2.1 张成 (Span) ★

是什么:一组向量 ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k$ 的张成,是它们所有线性组合构成的集合:

$$\mathrm{span}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k\}=\{c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_k{\mathbf{v}}_k:c_i\in \mathbb{R}\}.$$

为什么存在(动机):它回答”用这几个向量,能够到哪些点?”张成永远是一个子空间(线性组合的全体自动含 0、对加法和数乘封闭)——所以”张成”是制造子空间最直接的方式。

怎么用:几何上,一个非零向量张成一条过原点的直线;两个不平行向量张成一个过原点的平面;等等。"$\mathbf{b}\in \mathrm{span}\{\dots \}$" 就是”$\mathbf{b}$ 能被这些向量组合出来”。

2.2 线性无关 (Linear Independence) ★

是什么:一组向量线性无关,指没有任何一个能被其它几个的线性组合表示——每个向量都提供”新方向”,没有冗余。等价的严格定义:

$$c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_k{\mathbf{v}}_k=0⟹c_1=\cdots =c_k=0.$$

(即:凑出零向量的唯一办法是系数全取 0。)

为什么存在(动机):因为我们想用**“最少、不浪费”的向量去撑起一个空间。如果一组向量线性相关**(有冗余),那里面有”多余的”向量,去掉它张成不变。线性无关正是”没有一个是多余的”的精确说法。

怎么用 / 怎么判定:把向量排成矩阵的列,做消元——若每列都有主元,则线性无关;若有自由列(无主元),则相关(自由列对应的向量是多余的)。

例:判定线性无关

${\mathbf{v}}_1=(1,2,3),{\mathbf{v}}_2=(0,1,1),{\mathbf{v}}_3=(1,3,4)$。注意 ${\mathbf{v}}_3={\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2$。
命题:它们线性相关。
证明:${\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_3=(1+0-1,2+1-3,3+1-4)=(0,0,0)=0$,系数 $(1,1,-1)$ 不全为 0,故存在非平凡组合等于零,线性相关。$■$

本质:${\mathbf{v}}_3$ 是多余的(它=前两个之和),提供不了新方向。

2.3 基 (Basis) ★★

是什么(本质):一个子空间的基,是一组”既够用又不浪费”的向量——线性无关(不浪费)+ 张成整个空间(够用)。它是”用最少的向量精确撑起这个空间”的一套坐标轴。

为什么存在(动机):因为基给了子空间一套坐标系——空间里每个向量都能被基唯一地线性组合出来。一旦选定基,抽象的向量就变成了一串具体的坐标数字,可以计算。基是”把几何变成算术”的桥。

怎么用:基不唯一(一个空间有很多组基),但基的向量个数是固定的——这个固定的数就是维数(见 2.4)。求一个子空间的基,通常靠消元:化到 RREF,主元列/非零行给出基。

基的两个等价刻画(记住)

一组向量是基 $⟺$ 它是**“极大线性无关组”(再加任何向量就相关)$⟺$ 它是”极小张成组”(去掉任何一个就撑不满)。“够用的最少” = “不浪费的最多”**,同一枚硬币的两面。

2.4 维数 (Dimension) ★

是什么(本质):一个子空间的维数,是它任意一组基里向量的个数。这个数与选哪组基无关(是空间的内在属性)——所以它精确刻画了”这个空间有多大 / 有几个独立方向”。

为什么存在(动机):维数是子空间最重要的不变量 (invariant)——一个不随坐标、不随基改变的数。它让我们能说”这是一条线(1 维)""这是一个平面(2 维)“,并让”秩–零化度定理”这类维数等式成为可能。

怎么用:$\dim (\text{直线})=1$,$\dim (\text{平面})=2$,$\dim ({\mathbb{R}}^n)=n$,$\dim (\{0\})=0$。求维数 = 求一组基、数个数。

为什么"维数与基无关"是个定理(不是显然)

不同的人可能选出不同的基,凭什么它们个数一样?这需要证明(核心引理:在 $k$ 维空间里,任何 $>k$ 个向量必线性相关)。这个”个数唯一”正是维数能成为可靠标尺的原因——21-241 可能会考这条的证明或应用。

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3. 四个基本子空间 (The Four Fundamental Subspaces) ★★ Strang 的招牌

现在进入 Strang 教学的灵魂。给定一个 $m\times n$ 矩阵 $A$,它天然带出四个子空间。它们不是随意定义的,而是”把 $A\mathbf{x}$ 这件事里外看四遍”的产物。我用一个例子贯穿始终。

贯穿例子(下面四节都用它)

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 1& 2\\ 1& 2& 1& 3\end{array}\right)(3\times 4),\text{RREF}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$
主元在第 1、3 列;自由列是第 2、4 列;秩 $=2$(下一节讲秩)。注意 $A$ 的第 3 行 = 第 1 行 + 第 2 行(等下有用)。

3.1 列空间 (Column Space) $C(A)$ ★

是什么:$A$ 所有列的张成,记 $C(A)=\mathrm{span}\{A\text{ 的各列}\}$。它是 ${\mathbb{R}}^m$ 的子空间($m$ = 行数)。

为什么存在 / 回答什么问题:回忆”$A\mathbf{x}$ = $A$ 各列的线性组合”——所以 $C(A)$ 恰好是”$A\mathbf{x}$ 能取到的所有向量”,也就是”这台机器 $A$ 能把输入搬到的全部落点”。于是:

$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}\text{有解}⟺\mathbf{b}\in C(A).$$

这就是”何时有解”的终极答案。

怎么算(求基):化 $A$ 到 RREF,找主元所在的列;这些列在原矩阵 $A$ 里对应的列,就是 $C(A)$ 的一组基。

例子:主元在第 1、3 列 → $C(A)$ 的基 = $A$ 的第 1、3 列 = $\{(1,0,1),(0,1,1)\}$。$\dim C(A)=2$。

易错:基要取"原 $A$ 的列",不是 RREF 的列

RREF 只用来定位哪些列是主元列;基本身要回到原始 $A$ 去取对应列(RREF 的列已经被行变换改过,不再是原来的向量了)。

3.2 零空间 (Null Space) $N(A)$ ★

是什么:所有被 $A$ 压成零的向量,$N(A)=\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=0\}$。它是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间($n$ = 列数)。

为什么存在 / 回答什么问题:$N(A)$ 回答”解唯不唯一”。如果 $A{\mathbf{x}}_0=\mathbf{b}$ 是一个解,那么对任意 $\mathbf{z}\in N(A)$,$A({\mathbf{x}}_0+\mathbf{z})=\mathbf{b}+0=\mathbf{b}$ 也是解。所以:

$$\text{解唯一}⟺N(A)=\{0\}(\text{只有零向量被压成零}).$$

$N(A)$ 越大,解的”自由度”越多。全部解 = 一个特解 + 整个零空间(通解结构)。

怎么算(求基):化到 RREF,写出自由变量,每个自由变量取 1(其余取 0)解一次,得到零空间的一组基向量。

例子:自由变量 $x_2,x_4$。由 RREF:$x_1=-2x_2-x_4,x_3=-2x_4$。

• $x_2=1,x_4=0$:$(-2,1,0,0)$;$x_2=0,x_4=1$:$(-1,0,-2,1)$。
• $N(A)=\mathrm{span}\{(-2,1,0,0),(-1,0,-2,1)\}$,$\dim N(A)=2$。

3.3 行空间 (Row Space) $C(A^T)$ ★

是什么:$A$ 所有行的张成(等价地,$A^T$ 的列空间),记 $C(A^T)$。它是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间。

为什么存在 / 回答什么问题:行空间装的是”$A$ 的各行(各个方程的系数向量)能张成的方向”。一个关键事实:行变换不改变行空间(倍加/数乘/换行都只是把行重新组合,张成不变)。所以 RREF 的非零行和原矩阵张成同一个行空间。它和零空间”正交互补”(Stage 4 会讲清)。

怎么算(求基):化到 RREF,非零行直接就是行空间的一组基(它们天然线性无关)。

例子:$C(A^T)=\mathrm{span}\{(1,2,0,1),(0,0,1,2)\}$,$\dim C(A^T)=2$。

一个惊人的事实:行秩 = 列秩

$\dim C(A)=\dim C(A^T)$——列空间和行空间维数总是相等! 虽然一个在 ${\mathbb{R}}^m$、一个在 ${\mathbb{R}}^n$,长得完全不同,维数却锁定相等。这个公共的数就是秩(下一节)。例子里两者都是 2。

3.4 左零空间 (Left Null Space) $N(A^T)$ ➕

是什么:满足 $A^T\mathbf{y}=0$ 的所有 $\mathbf{y}$,等价地 ${\mathbf{y}}^{T}A=0^T$(所以叫”左”零空间——$\mathbf{y}$ 从左边乘 $A$ 得零)。它是 ${\mathbb{R}}^m$ 的子空间。

为什么存在 / 回答什么问题:它装的是”$A$ 的各行之间的线性依赖关系”。${\mathbf{y}}^{T}A=0$ 说的是”$\mathbf{y}$ 的分量作系数,把 $A$ 的各行组合起来得零”——也就是找出行与行之间怎么相互抵消。它和列空间正交互补(Stage 4)。

怎么算(求基):对 $A^T$ 求零空间;或找出 RREF 里那些”变成全 0 的行”是由原来哪些行怎么组合来的。

例子:$A$ 第 3 行 = 第 1 行 + 第 2 行,即 $1\cdot {\text{行}}_1+1\cdot {\text{行}}_2-1\cdot {\text{行}}_3=0$,故 $\mathbf{y}=(1,1,-1)$。
$N(A^T)=\mathrm{span}\{(1,1,-1)\}$,$\dim N(A^T)=1$。

四个子空间一览(例子)

子空间	记号	装什么	住在哪	一组基(例子)	维数
列空间	$C(A)$	$A\mathbf{x}$ 的落点	${\mathbb{R}}^m$	$(1,0,1),(0,1,1)$	2
零空间	$N(A)$	被压成零的 $\mathbf{x}$	${\mathbb{R}}^n$	$(-2,1,0,0),(-1,0,-2,1)$	2
行空间	$C(A^T)$	各行张成的方向	${\mathbb{R}}^n$	$(1,2,0,1),(0,0,1,2)$	2
左零空间	$N(A^T)$	行间抵消关系	${\mathbb{R}}^m$	$(1,1,-1)$	1

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4. 秩与秩–零化度定理 (Rank & the Rank–Nullity Theorem) ★★

4.1 秩 (Rank) ★

是什么(本质):秩就是主元的个数,也等于 $\dim C(A)=\dim C(A^T)$(列空间维数 = 行空间维数)。直观说,秩是”$A$ 里真正独立的行(或列)有几个”——是这台机器”有效维度”。

为什么存在(动机):秩是一个矩阵最重要的单个数字。它一口气告诉你:有几个独立方程、列空间多大、机器把 $n$ 维输入压成了几维输出。几乎所有关于”解的结构”的问题,答案都写在秩里。

怎么算:消元,数主元个数。

例子:主元在第 1、3 列 → 秩 $r=2$。

4.2 零化度 (Nullity) 与定理 ★

是什么:零化度 = $\dim N(A)$ = 自由变量的个数 = 没有主元的列数。

★ 秩–零化度定理 (Rank–Nullity Theorem):对 $m\times n$ 的 $A$,

$$\boxed{\mathrm{rank}(A)+\dim N(A)=n}(\text{秩 + 零化度 = 列数}).$$

为什么成立(直觉):$n$ 个列变量,每一列要么有主元(贡献秩),要么没主元(是自由变量,贡献零化度)——非此即彼、不重不漏。所以两者之和 = 总列数 $n$。

例子:$r=2$,自由变量 2 个,$2+2=4=n$ ✓。

四个子空间的维数,一张图记住

设秩 $=r$,矩阵 $m\times n$:
$\dim C(A)=r,\dim C(A^T)=r,\dim N(A)=n-r,\dim N(A^T)=m-r.$
两个”秩空间”维数都是 $r$;两个”零空间”维数分别用 $n$、$m$ 减 $r$。 例子:$r=2,m=3,n=4$ → $2,2,4-2=2,3-2=1$,和上表完全对上。

4.3 用秩一眼看穿解的结构 ★

把秩和 Stage 2 的”三种情况”接起来,你会发现之前的判据现在有了统一解释:

情形	秩的条件	子空间语言
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解	$\mathbf{b}\in C(A)$	落在列空间里
解唯一	$\mathrm{rank}=n$(无自由列)	$N(A)=\{0\}$
无穷多解	有解 且 $\mathrm{rank}<n$	有解 且 $N(A)\ne \{0\}$
方阵 $A$ 可逆	$\mathrm{rank}=n=m$(满秩)	四个子空间”该满的满、该零的零”

回填 Stage 2 的"可逆矩阵定理"

Stage 2 里那串等价条件,现在能补上几条了:$n\times n$ 的 $A$ 可逆 $⟺\mathrm{rank}=n$(满秩)$⟺N(A)=\{0\}$ $⟺$ 列线性无关 $⟺$ 列张成 ${\mathbb{R}}^n$。“满秩”是把这些串起来的关键词。

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5. 拓展 (Extensions) ➕

5.1 基变换的预览 (Change of Basis) ➕

同一个向量,在不同的基下有不同的坐标。“基变换”研究”换一套坐标轴,坐标怎么变、矩阵怎么变”——这是 Stage 7 的主题。现在只需知道:基不唯一,但换基是可逆的线性操作,由一个可逆矩阵实现。

5.2 四子空间与”正交” ➕(Stage 4 预告)

四个子空间两两之间有优美的正交关系:行空间 $\perp$ 零空间(都在 ${\mathbb{R}}^n$),列空间 $\perp$ 左零空间(都在 ${\mathbb{R}}^m$)。这是 Strang”四子空间大图”的完整形态,Stage 4(正交性)会讲透。现在记住:零空间正好”垂直”于行空间——这解释了为什么零空间的向量和每一行都点积为 0($A\mathbf{x}=0$ 的每一行就是”某行 $\cdot \mathbf{x}=0$”)。

5.3 ➕ 秩与数据(呼应你的数据科学)

在数据里,一个矩阵的秩 ≈ “数据里真正独立的信息维度”。低秩 (low rank) 意味着数据高度冗余、可压缩——这正是推荐系统、图像压缩、PCA(Stage 7)的核心思想:用低秩近似把高维数据压到少数几个”主方向”上。你现在学的”秩”,就是这一切的起点。

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6. 例题精讲 (Worked Examples)

例 1 — 判定子空间

问:$W=\{(x,y,z):x-2y+z=0\}\subset {\mathbb{R}}^3$ 是子空间吗?
解:含 $0$($0-0+0=0$)✓。设 $\mathbf{u},\mathbf{v}\in W$(各自满足方程),则 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ 的坐标代入 $=(u_1+v_1)-2(u_2+v_2)+(u_3+v_3)=0+0=0$ ✓;$c\mathbf{u}$ 代入 $=c\cdot 0=0$ ✓。三条全过,是子空间(它是过原点的一个平面,$\dim =2$)。

例 2 — 求列空间与零空间的基

问:$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$,求 $C(B)$、$N(B)$ 的基与维数。
解:RREF:$R_2-2R_1\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$。主元在第 1 列,秩 $=1$。

• $C(B)$:取原 $B$ 的第 1 列 $\Rightarrow$ 基 $\{(1,2)\}$,$\dim =1$。(几何:所有列都在 $(1,2)$ 方向上。)
• $N(B)$:自由变量 $x_2,x_3$;$x_1=-2x_2-3x_3$。基 $\{(-2,1,0),(-3,0,1)\}$,$\dim =2$。
• 验证秩–零化度:$1+2=3=n$ ✓。

例 3 — 线性无关的证明

问:证明 $\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}$ 线性无关。
证明:设 $c_1(1,0,0)+c_2(1,1,0)+c_3(1,1,1)=0$。按分量:第 3 个分量给 $c_3=0$;第 2 个给 $c_2+c_3=0\Rightarrow c_2=0$;第 1 个给 $c_1+c_2+c_3=0\Rightarrow c_1=0$。系数必全 0,故线性无关。$■$

套路:凑零向量 → 逐分量解 → 若逼出系数全 0,即无关。这是判定无关最直接的证明写法。

例 4 — 用秩判解的结构

问:$A$ 是 $4\times 6$、秩 $=4$ 的矩阵。$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解有什么结构?
解:$\dim N(A)=n-r=6-4=2>0$,所以若有解则无穷多(2 个自由度)。又 $\dim C(A)=r=4=m$,即列空间 = 整个 ${\mathbb{R}}^4$,故对每个 $\mathbf{b}$ 都有解。结论:对任意 $\mathbf{b}$,解集是”一个特解 + 一个 2 维零空间”,即无穷多解。

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7. 衔接 21-241 + 自测

7.1 这部分在 21-241 的考点

• 计算:求四个子空间的基与维数、求秩、验秩–零化度。这些是 HW 主力。
• 证明(拉分):证”某集合是/不是子空间”、证”某组向量线性无关/是基”、证”行秩=列秩”或秩–零化度的应用、以及从抽象定义出发的小证明(如”子空间的交仍是子空间”)。
• 概念:$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 可解性与 $C(A)$、解唯一性与 $N(A)$ 的联系——常以”给定秩,描述解结构”的形式考。

针对你的老毛病(来自前几次批改)

(1) 证子空间别偷懒:三条(含 0、加法封闭、数乘封闭)要逐条写全,尤其”含 $0$“这条最容易漏(而它往往是秒杀不合格例子的关键)。(2) 别过度复杂化:判子空间就用那三条,别搬更重的机器。(3) 自查:求完基,验一下秩–零化度 $r+(n-r)=n$ 对不对,能当场抓错。

7.2 自测题(先做,再展开)

自测 1(子空间)

$\{(x,y):xy=0\}$(两坐标轴的并)是 ${\mathbb{R}}^2$ 的子空间吗?

答案 1

不是。含 $0$,但对加法不封闭:$(1,0)$ 和 $(0,1)$ 都满足 $xy=0$,但它们的和 $(1,1)$ 有 $xy=1\ne 0$,跑出去了。故不是子空间。(反例是判”不是子空间”的利器。)

自测 2(四子空间)

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 2& 4\\ 3& 3& 6\end{array}\right)$,求秩、$C(A)$ 与 $N(A)$ 的基、并验秩–零化度。

答案 2

三行成比例,RREF $=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$,秩 $=1$。$C(A)$:原第 1 列 $\Rightarrow \{(1,2,3)\}$。$N(A)$:$x_1=-x_2-2x_3$,基 $\{(-1,1,0),(-2,0,1)\}$。验:$1+2=3=n$ ✓。

自测 3(线性无关/基)

$\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基吗?

答案 3

排成矩阵消元,主元 3 个(可自行验证行列式 $=2\ne 0$),故线性无关;3 个无关向量在 3 维空间里必张成 ${\mathbb{R}}^3$。是基。(3 维空间里:3 个线性无关向量 $⟺$ 一组基。)

自测 4(证明)

设 $U,W$ 都是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间。证明它们的交 $U\cap W$ 也是子空间。

答案 4

含 0:$0\in U$ 且 $0\in W$,故 $0\in U\cap W$。加法:若 $\mathbf{u},\mathbf{v}\in U\cap W$,则二者都在 $U$(封闭 $\Rightarrow \mathbf{u}+\mathbf{v}\in U$)也都在 $W$($\Rightarrow \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W$),故和在交里。数乘同理。三条全过,$U\cap W$ 是子空间。$■$

这类”抽象子空间”证明,套路就是逐条验三条封闭性——正是 21-241 爱考的类型。

自测 5(秩推理)

$A$ 是 $5\times 3$ 矩阵。(a) $N(A)$ 最多几维?(b) 若 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对某些 $\mathbf{b}$ 无解,说明什么?

答案 5

(a) $\dim N(A)=n-r=3-r\le 3$;但 $r\ge 0$,且列空间在 ${\mathbb{R}}^5$ 里,$r\le \min (5,3)=3$。零空间最多 $3$ 维(当 $r=0$,即 $A=O$)。一般若 $A\ne O$ 则 $\le 2$。(b) $C(A)⊊{\mathbb{R}}^5$(列空间不是整个 ${\mathbb{R}}^5$),即 $r<5$——由于 $r\le 3<5$ 本来就必然,所以 $5\times 3$ 矩阵总有 $\mathbf{b}$ 无解(列撑不满 ${\mathbb{R}}^5$)。

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8. 一页速记 + 进入 Stage 4 的检查清单

Stage 3 速记卡

• 向量空间 = 能加、能数乘、守 8 条规则的集合;抽象的意义 = 一次证明、处处适用(${\mathbb{R}}^n$/矩阵/多项式/函数通用)。
• 子空间 = 过原点、对加法和数乘封闭的子集;判定三条:含 $0$ / 加法封闭 / 数乘封闭(不含 0 直接出局)。
• 张成 = 全部线性组合(永远是子空间);线性无关 = 凑零只能系数全 0(没有多余向量)。
• 基 = 无关 + 张成 = 极大无关组 = 极小张成组;维数 = 基的向量个数(与基无关的不变量)。
• 四个基本子空间(设秩 $r$,$A$ 是 $m\times n$):
  • $C(A)$(列空间,$\subset {\mathbb{R}}^m$,$\dim r$):$A\mathbf{x}$ 的落点;$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解 $⟺\mathbf{b}\in C(A)$。基 = RREF 主元列对应的原列。
  • $N(A)$(零空间,$\subset {\mathbb{R}}^n$,$\dim n-r$):被压成零的 $\mathbf{x}$;解唯一 $⟺N(A)=\{0\}$。基 = 自由变量法。
  • $C(A^T)$(行空间,$\subset {\mathbb{R}}^n$,$\dim r$):基 = RREF 非零行。
  • $N(A^T)$(左零空间,$\subset {\mathbb{R}}^m$,$\dim m-r$):行间抵消关系。
• 秩 = 主元数 = $\dim C(A)=\dim C(A^T)$(行秩=列秩);秩–零化度:$r+\dim N(A)=n$。
• 可逆($n\times n$) $⟺$ 满秩 $r=n$ $⟺N(A)=\{0\}$ $⟺$ 列无关 $⟺$ 列张成 ${\mathbb{R}}^n$。

进入 Stage 4 前,确认你能:

• 用自己的话说清”向量空间为什么要抽象""子空间是什么”;
• 用三条封闭性判定一个集合是不是子空间,并会用反例证明”不是”;
• 区分张成 / 线性无关 / 基 / 维数,并说出基的两个等价刻画;
• 对一个具体矩阵,求出四个子空间的基与维数;
• 陈述并用直觉解释秩–零化度定理,当场验证 $r+(n-r)=n$;
• 用秩 / 列空间 / 零空间的语言,判定 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解结构。

全部打勾 → 你已经为 Stage 4(正交性、投影、Gram–Schmidt) 准备好了。

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一句话收尾

Stage 3 看着是一堆新词(空间、基、维数、四个子空间),但它们全是同一句话的不同侧面:”$A\mathbf{x}$ 是 $A$ 各列的线性组合”。列空间是这句话的”输出端”,零空间是”塌陷端”,秩是”有效维度”,秩–零化度是”输入维度守恒”。当你能一眼把一个矩阵看成四个子空间 + 一个秩,你就不再是在”算矩阵”,而是在”读懂一台线性机器”——这正是从 Stage 3 起,线代对你从”计算”变成”洞察”的那一刻。