二元泰勒公式

二元泰勒公式提供了一个二元函数 $f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 附近的二阶近似。是泰勒公式的推广

设 $f(x,y)$ 是一个在点 $(a,b)$ 具有二阶连续偏导数的函数，那么 $f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 处的二阶泰勒展开式为：

$$f(x,y)\approx f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b)+\frac{1}{2!}\left[\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(a,b)(x-a{)}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(a,b)(x-a)(y-b)+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(a,b)(y-b{)}^2\right]$$

分为以下三部分:

零阶项

$f(a,b)$

一阶项

$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a)$
$\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b)$

二阶项

$\frac{1}{2!}\left[\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(a,b)(x-a{)}^2\right]$
$\frac{1}{2!}\left[2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(a,b)(x-a)(y-b)\right]$
$\frac{1}{2!}\left[\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(a,b)(y-b{)}^2\right]$

通项

如果在 $(a,b)$ 处展开二元函数 $f(x,y)$，二元泰勒公式的通项公式为：

$$\frac{1}{m!n!}\cdot \frac{{\partial }^{m+n}f(a,b)}{\partial x^m\partial y^n}\cdot (x-a{)}^m\cdot (y-b{)}^n$$

其中：

• $m$ 和 $n$ 分别是偏导数对 $x$ 和 $y$ 的次数。
• $\frac{{\partial }^{m+n}f(a,b)}{\partial x^m\partial y^n}$ 是在点 $(a,b)$ 处对 $f(x,y)$ 先对 $x$ 求 $m$ 次偏导数，再对 $y$ 求 $n$ 次偏导数。
• $(x-a)$ 和 $(y-b)$ 分别是 $x$ 和 $y$ 相对于 $a$ 和 $b$ 的偏移量。

如果将二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 处展开的泰勒级数写成求和形式，则表达式如下：

$$f(x,y)=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{m!n!}\cdot \frac{{\partial }^{m+n}f(a,b)}{\partial x^m\partial y^n}\cdot (x-a{)}^m\cdot (y-b{)}^n$$

其中：

• $m$ 和 $n$ 都从 $0$ 开始，可以取任何非负整数。
• $m$ 和 $n$ 彼此独立，即 $m$ 的取值不影响 $n$ 的取值，反之亦然。

这意味着，求和是对所有可能的 $m$ 和 $n$ 的组合进行的，包含了所有的偏导数项。这是二元函数泰勒展开的完整级数形式。