全微分

预备知识

全增量

$$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$$

偏增量

• f关于x的偏增量

$$f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$$

• f关于y的偏增量

$$f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$$

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定义

设函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的某邻域内有定义, 如果函数在点的全增量
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$
可表示为
$\Delta z-A\Delta x+B\Delta y+\sigma (\rho )$
其中A,B不依赖于$\Delta x$, $\Delta y$ 而仅与x, y 有关
$\rho =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$
则函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分,
$A\Delta x+B\Delta y$ 称为全微分

定理1(必要条件)

如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分, 则该函数在点$(x,y)$的偏导数必定存在, 且函数在点的全微分为:
$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$

定理2(充分条件)

若函数$z=f(x,y)$的偏导数在点$(x,y)$连续, 则函数在该点可微

叠加原理

多元函数的全微分等于它的每个偏微分之和