多元函数极值

判断极值

使用海塞矩阵的行列式判断函数在极值点的性质

$$D=|H|=\left|\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\end{array}\right|=f_{xx}{f}_{yy}-(f_{xy}{)}^2$$

• 如果 $D>0$ 且 $f_{xx}>0$，则该点是局部极小值。
• 如果 $D>0$ 且 $f_{xx}<0$，则该点是局部极大值。
• 如果 $D<0$，则该点是鞍点。
• 如果 $D=0$，结果不确定，需要进一步分析。

示例

要求函数 $f(x,y)=x^4-4xy+2y^2$ 在点 $(1,2)$ 处的切平面方程，并求其极值，按照以下步骤进行：

1. 计算函数在 $(1,2)$ 处的切平面方程

计算偏导数

首先，我们需要计算函数的偏导数：

$$f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=4x^3-4y$$ $$f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=-4x+4y$$

计算在 $(1,2)$ 处的偏导数值

$$f_x(1,2)=4(1{)}^3-4(2)=4-8=-4$$ $$f_y(1,2)=-4(1)+4(2)=-4+8=4$$

计算函数在 $(1,2)$ 处的函数值

$$f(1,2)=(1{)}^4-4(1)(2)+2(2{)}^2=1-8+8=1$$

构建切平面方程

切平面方程的通式为：

$$z-f(a,b)=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$$

将已知点 $(a,b)=(1,2)$，及其函数值和偏导数值代入，得到：

$$z-1=-4(x-1)+4(y-2)$$ $$z-1=-4x+4+4y-8$$ $$z=-4x+4y-3$$

所以，切平面方程为：

$$z=-4x+4y-3$$

2. 求函数的极值

计算临界点

临界点满足 $f_x=0$ 和 $f_y=0$：

$$4x^3-4y=0\Rightarrow x^3=y$$ $$-4x+4y=0\Rightarrow y=x$$

将 $y=x$ 代入 $x^3=y$，得到：

$$x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0$$

所以，$x=0$ 或 $x=\pm 1$。于是，临界点为：

$$(0,0),(1,1),(-1,-1)$$

计算二阶导数并使用 Hessian 矩阵判定极值

$$f_{xx}=12x^2,f_{yy}=4,f_{xy}=-4$$

在点 $(x,y)$ 处的 Hessian 矩阵为：

$$H=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{xy}& f_{yy}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}12x^2& -4\\ -4& 4\end{array}\right)$$

计算 Hessian 行列式 $D=f_{xx}{f}_{yy}-(f_{xy}{)}^2$：

$$D=12x^2\cdot 4-(-4{)}^2=48x^2-16$$

检查各个临界点：

• 在 $(0,0)$：

$$D=48\cdot 0^2-16=-16\Rightarrow H\text{ 的行列式为负，故为鞍点}$$

• 在 $(1,1)$：

$$D=48\cdot 1^2-16=32\text{且}{f}_{xx}=12>0\Rightarrow \text{局部极小值}$$

• 在 $(-1,-1)$：

$$D=48\cdot (-1{)}^2-16=32\text{且}{f}_{xx}=12>0\Rightarrow \text{局部极小值}$$

结果总结

• 在点 $(1,2)$ 处的切平面方程为：$z=-4x+4y-3$。
• 函数 $f(x,y)$ 在 $(1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 处有局部极小值，在 $(0,0)$ 处为鞍点。