多元复合函数求导

定义和基本概念

设有一个多变量复合函数 $z=f(x,y)$，其中 $x$ 和 $y$ 又是其他变量 $u$ 和 $v$ 的函数，即 $x=g(u,v)$ 和 $y=h(u,v)$。我们想找到 $z$ 对 $u$ 和 $v$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial v}$。

链式法则

通过已知的偏导数，找到复合函数的偏导数

$$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial u}$$ $$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial v}$$

这种方法可以推广到任意数量的变量

示例

Example

假设有函数 $z=f(x,y)=x^2+y^2$，其中 $x=g(u,v)=u^2-v$ 和 $y=h(u,v)=uv$，我们来求 $z$ 对 $u$ 和 $v$ 的偏导数。

1. 计算 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2)=2x$$ $$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(x^2+y^2)=2y$$

2. 计算 $x$ 和 $y$ 对 $u$ 和 $v$ 的偏导数：

$$\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial }{\partial u}(u^2-v)=2u$$ $$\frac{\partial x}{\partial v}=\frac{\partial }{\partial v}(u^2-v)=-1$$ $$\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{\partial }{\partial u}(uv)=v$$ $$\frac{\partial y}{\partial v}=\frac{\partial }{\partial v}(uv)=u$$

3. 代入链式法则公式：

$$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial u}$$

将已知偏导数代入，得到：

$$\frac{\partial z}{\partial u}=2x\cdot 2u+2y\cdot v$$

因为 $x=u^2-v$ 和 $y=uv$，所以：

$$\frac{\partial z}{\partial u}=2(u^2-v)\cdot 2u+2(uv)\cdot v=4u(u^2-v)+2u{v}^2$$ $$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial v}$$

将已知偏导数代入，得到：

$$\frac{\partial z}{\partial v}=2x\cdot (-1)+2y\cdot u$$

因为 $x=u^2-v$ 和 $y=uv$，所以：

$$\frac{\partial z}{\partial v}=2(u^2-v)\cdot (-1)+2(uv)\cdot u=-2(u^2-v)+2u^{2}v$$

综上所述，复合函数 $z=f(x,y)=x^2+y^2$ 对 $u$ 和 $v$ 的偏导数分别为：

$$\frac{\partial z}{\partial u}=4u(u^2-v)+2u{v}^2$$ $$\frac{\partial z}{\partial v}=-2(u^2-v)+2u^{2}v$$