Schwarz 定理

对于大多数常见函数，混合偏导数是相等的。这由 Schwarz 定理（Schwarz’s theorem）或称 Clairaut 定理（Clairaut’s theorem）所保证。该定理表明，如果一个函数的混合偏导数在一个点及其附近连续，那么这两个混合偏导数是相等的。

定理陈述

设 $f$ 是定义在开集 $U\subset {\mathbb{R}}^2$ 上的二次连续可导函数，即函数 $f$ 具有连续的二阶偏导数。则对于 $U$ 中的任意点 $(x,y)$，有：

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$$

示例

对于给定的函数 $f(x,y)=x^4-4xy+2y^2$，我们已经计算了以下偏导数：
一阶偏导数：

$$f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=4x^3-4y$$ $$f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=-4x+4y$$

二阶偏导数：

$$f_{xx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=12x^2$$ $$f_{yy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=4$$ $$f_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(4x^3-4y)=-4$$ $$f_{yx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(-4x+4y)=-4$$

我们可以看到，混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 是相等的，即：

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=-4$$

例外情况

在某些特殊情况下，如果函数的二阶偏导数不连续或不存在，Schwarz 定理可能不适用。在这些情况下，混合偏导数可能不相等。不过，在实数域内的多数实际应用中，函数通常满足所需的条件，因此混合偏导数相等。