常用求导公式

幂指函数

其中 $a$, $c$, $n$ 都是常数：
$\frac{d}{dx}(c)=0$
$\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$
$\frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln (a),(a>0)$
$\frac{d}{dx}({\log }_{a}x)=\frac{1}{x\ln (a)},其中(a>0,a\ne 1)$

三角函数

$\frac{d}{dx}(\sin (x))=\cos (x)$
$\frac{d}{dx}(\cos (x))=-\sin (x)$
$\frac{d}{dx}(\tan (x))={\sec }^2(x)$
$\frac{d}{dx}(\cot (x))=-{\csc }^2(x)$
$\frac{d}{dx}(\sec (x))=\sec (x)\tan (x)$
$\frac{d}{dx}(\csc (x))=-\csc (x)\cot (x)$

反三角函数

$\frac{d}{dx}(\arcsin (x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}(\arccos (x))=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}(\arctan (x))=\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{d}{dx}(arccot(x))=-\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{d}{dx}(arcsec(x))=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$\frac{d}{dx}(arccsc(x))=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

导数间的运算法则

线性

线性描述的是一种简单直接的变换的性质:

$$T[ax+by]=aT(x)+bT(y)$$

以上性质可以分解为两个更基本的性质:

• 可加性
  

  定义

  可加性

  设映射 $T:S\to S$，若满足：
  $T(a+b)=T(a)+T(b),\forall a,b\in S$
  则称 $T$ 为可加算子。

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• 齐次性
  

  齐次变换

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乘法定则

$\frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right]=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

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除法定则

$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$

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链式法则

$\frac{d}{dx}\left(f[g(x)]\right)=f^{\prime }[g(x)]g^{\prime }(x)$

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