伯努利方程

简介

伯努利方程是一阶非线性微分方程, 其标准形式为:
$y^{\prime }+P(x)=Q(x)y^n$
可以通过变量代换将其转化为一阶线性微分方程来求解.

求解

1. 标准化方程:

如果不是标准形式, 先将伯努利方程重写为标准形式:

$$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$$

2. 变量代换:

进行量代换 $z=y^{1-n}$, 则有
$y=z^{\frac{1}{1-n}}$

$$\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$$

3. 代入方程:

将 $\frac{dy}{dx}$ 和 $y$ 代入原方程:

$$(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$

简化后得到:

$$(1-n)y^{-n}{y}^{\prime }=z^{\prime }=Q(x)-P(x)z$$

4. 重写为线性方程:

现在个方程变成了关于 $z$ 的一阶线性微分方程:

$$\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$$

5. 求解线性方程:

对这一阶线性微分方程使用标准方法求解. 先找到积分因子 $\mu (x)$, 满足:

$$\mu (x)=e^{\int (1-n)P(x)dx}$$

6. 求出 $z$ 的解:

将积分因子 $\mu (x)$ 乘到原方程两侧:

$$\mu (x)\frac{dz}{dx}+\mu (x)(1-n)P(x)z=\mu (x)(1-n)Q(x)$$

左侧为:

$$\frac{d}{dx}\left[\mu (x)z\right]=\mu (x)(1-n)Q(x)$$

7. 积分:

对两边积分, 得到:

$$\mu (x)z=\int \mu (x)(1-n)Q(x)dx+C$$

所以

$$z=\frac{1}{\mu (x)}\left(\int \mu (x)(1-n)Q(x)dx+C\right)$$

8. 还原 $y$ 的解:

通过变量代换 $z=y^{1-n}$, 得到 $y$ 的解:

$$\begin{array}{rl}y& ={\left(\frac{1}{\mu (x)}\left(\int \mu (x)(1-n)Q(x)dx+C\right)\right)}^{\frac{1}{1-n}}\\ & ={\left(e^{\int (1-n)P(x)dx}\left(\int e^{\int (1-n)P(x)dx}(1-n)Q(x)dx+C\right)\right)}^{\frac{1}{1-n}}\end{array}$$

示例

考虑方程:

$$y^{\prime }+y=x{y}^2$$

令 $z=y^{1-2}=y^{-1}$, 即 $y=\frac{1}{z}$, 并求导数 $y^{\prime }=-\frac{1}{z^2}{z}^{\prime }$.

代入方程:

$$-\frac{1}{z^2}{z}^{\prime }+\frac{1}{z}=x{\left(\frac{1}{z}\right)}^2$$ $$-\frac{1}{z^2}{z}^{\prime }+\frac{1}{z}=\frac{x}{z^2}$$

化简为线性方程:

$$-z^{\prime }+z=x$$

这是一阶线性方程, 求积分因子:

$$\mu (x)=e^{\int -dx}=e^{-x}$$

则

$$e^{-x}{z}^{\prime }-e^{-x}z=x{e}^{-x}$$

积分, 左侧变为:

$$\frac{d}{dx}\left[e^{-x}z\right]=x{e}^{-x}$$

对两边积分:

$$e^{-x}z=\int x{e}^{-x}dx$$

分部积分:

$$\int x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}-\int -e^{-x}dx=-x{e}^{-x}+e^{-x}+C$$

所以:

$$e^{-x}z=-x{e}^{-x}+e^{-x}+C$$ $$z=-x+1+C{e}^x$$

还原 $y$ 的解

$$y=\frac{1}{z}=\frac{1}{-x+1+C{e}^x}$$