函数的微分

定义

设函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0+\Delta x$ 在定义区间内，函数从 $x_0$ 到 $x_0+\Delta x$ 的增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$. 如果函数的增量可表示为下式, 且其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数
$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$
那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的. 而 $A\Delta x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分, 记作 $dy$, 即
$dy=A\Delta x$

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推导

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微的充分必要条件是: 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，
且当$f(x)$在点 $x_0$ 可微时，其微分一定是 $dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x$
当 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ 时，有
$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{dy}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{f^{\prime }(x_0)\Delta x}=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=1$
从而，当 $\Delta x\to 0$ 时，$\Delta y$ 与 $dy$ 是等价无穷小
于是由无穷小的比较可知，这时有 $\Delta y=dy+o(dy)$, 即 $dy$ 是 $\Delta y$ 的无穷 > 主部.
又由于 $dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x$ 是 $\Delta x$ 的线性函数，所以在 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ 的条件下，我们说 $dy$ 是 $\Delta y$ 的线性主部(当 $\Delta x\to 0$)。

于是我们得到结论：
在 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ 的条件下，以微分 $dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x$ 近似代替增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 时，其误差为 $o(dy)$. 因此，在 $|\Delta x|$ 很小时，有近似等式 $\Delta y\approx dy$

推论

几何意义

函数在点 $x_0$ 处的切线

微分形式不变性

当 $dy=f^{\prime }(x)dx$ 变换自变量 $u$ 后, 无论 $u$ 是自变量还是中间变量, $dy=f^{\prime }(u)du$ , 微分形式不改变

应用

1. 求函数的近似值
2. 误差估计