曲线外积积分

示例

给定三维向量场：

$$\mathbf{F}=\left(-\frac{xy}{4}\right)\mathbf{i}+(z-x)\mathbf{j}+(x+y)\mathbf{k}$$

以及参数曲线：

$$x=\frac{y^2}{8},y=-z$$

从 点$(0,0,0)$ 到 点$\left(\frac{9}{2},6,-6\right)$

计算向量场的曲线外积积分：

$${\int }_C\mathbf{F}\times d\mathbf{r}.$$

解答步骤

1. 曲线的参数化
   设 $t=z$，则：

$$y=-t,x=\frac{(-t{)}^2}{8}=\frac{t^2}{8}.$$

曲线参数化为：

$$\mathbf{r}(t)=\frac{t^2}{8}\mathbf{i}-t\mathbf{j}+t\mathbf{k},t\in [0,6].$$

求导得到：

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{t}{4}\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}.$$

2. 向量场的参数化
   将 $x=\frac{t^2}{8},y=-t,z=t$ 代入 $\mathbf{F}$：

$$\mathbf{F}=\frac{t^3}{32}\mathbf{i}+\left(t-\frac{t^2}{8}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{t^2}{8}-t\right)\mathbf{k}.$$

3. 外积计算
   计算 $\mathbf{F}\times \frac{d\mathbf{r}}{dt}$：

$$\mathbf{F}\times \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{t^3}{32}& t-\frac{t^2}{8}& \frac{t^2}{8}-t\\ \frac{t}{4}& -1& 1\end{array}\right|.$$

展开计算得：

$$\mathbf{F}\times \frac{d\mathbf{r}}{dt}=-\frac{t^2}{4}\mathbf{j}-\frac{t^2}{4}\mathbf{k}.$$

4. 积分计算
   逐分量计算积分：

• $\mathbf{j}$ 分量：

$${\int }_0^6-\frac{t^2}{4}dt=-18.$$

• $\mathbf{k}$ 分量：

$${\int }_0^6-\frac{t^2}{4}dt=-18.$$

最终结果为：

$${\int }_C\mathbf{F}\times d\mathbf{r}=-18\mathbf{j}-18\mathbf{k}.$$