格林公式

将闭曲线上的线积分转化为由该闭曲线围成的区域上的双重积分，广泛应用于场论与流体力学。

若连通域D内的函数P(x,y)$$Q(x,y)具有一阶连续的偏导数
${\oint }_C(Pdx+Qdy)={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

如果定义向量场$\mathbf{F}=(P,Q)$, 则
左边$Pdx+Qdy$可以视为与
右边积分中出现的项 $\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$ 即为二维旋度。

将其改写为
${\oint }_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$

连通域

若平面区域D内任意曲线L围成的的点都属于D，则D为单连通域，否则称为复连通域。通俗地说，单连通域内部没有洞

复连通域

对于复连通域，格林公式应该包含D内所有边界

保守场

若向量场$\mathbf{F}$是保守场, 则平面曲线积分与路径无关
$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$

二元函数的全微分

为了使用格林公式，必须要讨论函数$P(x,y)$, $Q(x,y)$在什么情况下表达式才是某个二元函数的的全微分

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示例

计算向量场 $\mathbf{F}=(-y,x)$ 沿单位圆周 $C$ 的线积分，其中单位圆周是 $x^2+y^2=1$。

根据格林公式：
${\oint }_C(Pdx+Qdy)={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$
这里 $P=-y$ 和 $Q=x$，则：
$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1$
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (-y)}{\partial y}=-1$
于是：
$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2$
单位圆的面积 $D=\pi$，因此：
${\iint }_{D}2dA=2\times D=2\times \pi =2\pi$
所以，沿单位圆周的线积分为：
${\oint }_C(-ydx+xdy)=2\pi$