通量

向量场通过曲面的流量/流动强度，表达为场的向量与面元法向量的点积的面积积分。计算通量时，需考虑向量场的方向和表面的法向方向, 一般定义由内向外为正方向。通量属于第二类曲面积分

公式

对于向量场 $\mathbf{F}$ 通过曲面 $S$ 的通量，定义为：

$$\Phi =\int \text{unicode}x25CB{\int }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$$

• $\mathbf{F}$ 是向量场
• $d\mathbf{S}$ 是曲面上的微小面积元素，其方向与表面法线方向一致。

通过向量场$\mathbf{F}$在微元$\mathbf{dS}$处的法向量点乘结果进行累计(积分)计算.

应用

常用于描述物理学中的电场、磁场和流体力学中的流速等。

• 如果向量场 $\mathbf{F}$ 是电场，则通量表示通过表面的电场线数量；
• 如果向量场 $\mathbf{F}$ 是流速场，则通量表示通过表面的流体体积或质量。

示例

例1：球体表面

假设有一个向量场 $\mathbf{F}=(x,y,z)$，我们要计算它通过以原点为中心、半径为 $R$ 的球体表面的通量。

1. 向量场和表面：
   • $\mathbf{F}=(x,y,z)$
   • 球体表面 $S$ 的参数方程：$\mathbf{r}(\theta ,\varphi )=(R\sin \varphi \cos \theta ,R\sin \varphi \sin \theta ,R\cos \varphi )$，其中 $0\le \theta \le 2\pi$ 和 $0\le \varphi \le \pi$。
2. 法向量和面积元素：
   • 球体表面的法向量为 $\mathbf{n}=(x,y,z)/R=\mathbf{r}/R$
   • 面积元素：$dS=R^2\sin \varphi d\theta d\varphi$
3. 计算通量：

$${\int }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }(R\sin \varphi \cos \theta ,R\sin \varphi \sin \theta ,R\cos \varphi )\cdot (R\sin \varphi \cos \theta ,R\sin \varphi \sin \theta ,R\cos \varphi )R^2\sin \varphi d\varphi d\theta$$ $$={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{R}^3{\sin }^3\varphi d\varphi d\theta +{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{R}^3{\cos }^2\varphi \sin \varphi d\varphi d\theta$$

得到 $3\pi R^3$

例2：矩形表面

考虑一个向量场 $\mathbf{G}=(yz,xz,xy)$，要计算它通过一个边长为 $a$ 和 $b$ 的矩形面（在 $xy$-平面，且平行于 $x$ 和 $y$ 轴）的通量。

1. 向量场和表面：
   • $\mathbf{G}=(yz,xz,xy)$
   • 矩形面：$0\le x\le a$, $0\le y\le b$, $z=0$。
2. 法向量和面积元素：
   • 因为矩形位于 $xy$-平面上，所以法向量为 $(0,0,1)$。
   • 面积元素：$dS=dxdy\mathbf{k}$。
3. 计算通量： $${\int }_{\text{矩形}}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S}={\int }_0^a{\int }_0^b(yz,xz,xy)\cdot (0,0,1)dxdy={\int }_0^a{\int }_0^{b}xydxdy$$ $$={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^a{\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^b=\frac{a^2{b}^2}{4}$$