分部积分的推论

余弦-指数

$\int e^{mt}\cos (nt)dt=e^{mt}\frac{m\cos (nt)+n\sin (nt)}{m^2+n^2}$

推导

使用两次分部积分:

$$\begin{array}{rl}& \underline{\int e^{mt}\cos (nt)dt}\\ & =\frac{1}{m}\int \cos (nt)d(e^{mt})\\ & =\frac{1}{m}{e}^{mt}\cos (nt)+\frac{n}{m}\int e^{mt}\sin (nt)dt\\ & =\frac{1}{m}{e}^{mt}\cos (nt)+\frac{n}{m}\left(\frac{1}{m}{e}^{mt}\sin (nt)-\frac{n}{m}\underline{\int e^{mt}\cos (nt)dt}\right)\end{array}$$

其中下划线部分$\underline{\int e^{mt}\cos (nt)dt}$相同, 移项整理得到:
$\int e^{mt}\cos (nt)dt=e^{mt}\frac{m\cos (nt)+n\sin (nt)}{m^2+n^2}$

正弦-指数

$\int e^{mt}\sin (nt)dt=e^{mt}\frac{m\sin (nt)-n\cos (nt)}{m^2+n^2}$

推导

使用两次分部积分:

$$\begin{array}{rl}& \underline{\int e^{mt}\sin (nt)dt}\\ & =\frac{1}{m}\int \sin (nt)d(e^{mt})\\ & =\frac{1}{m}{e}^{mt}\sin (nt)-\frac{n}{m}\int e^{mt}\cos (nt)dt\\ & =\frac{1}{m}{e}^{mt}\sin (nt)-\frac{n}{m}\left(\frac{1}{m}{e}^{mt}\cos (nt)+\frac{n}{m}\underline{\int e^{mt}\sin (nt)dt}\right)\end{array}$$

其中下划线部分$\underline{\int e^{mt}\sin (nt)dt}$相同, 移项整理得到:
$\int e^{mt}\sin (nt)dt=e^{mt}\frac{m\sin (nt)-n\cos (nt)}{m^2+n^2}$

幂函数-指数

$\int x{e}^{x}dx$
这种形式的积分适合选择 $u=x$( 多项式部分) , $dv=e^{x}dx$( 指数部分) .

幂函数-对数

$\int x\ln xdx$
对于这种类型的积分, 一般选取 $u=\ln x$( 对数部分) , $dv=xdx$( 多项式部分) .

幂函数-三角函数

$\int x\sin xdx$
在这种情况下, 常见的选择是 $u=x$, $dv=\sin xdx$.

幂函数-反三角

$\int x\arctan xdx$
这里通常选择 $u=\arctan x$( 反三角部分) , $dv=xdx$( 多项式部分) .