常见积分形式处理

定积分计算中常见的积分形式以及处理方式总结：

1. 三角函数的平方

$${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos (2\theta )}{2},{\sin }^2\theta =\frac{1-\cos (2\theta )}{2}$$

这些公式经常需要用来简化三角函数平方的积分。

示例：

$$\int {\cos }^2\theta d\theta =\int \frac{1+\cos (2\theta )}{2}d\theta =\frac{\theta }{2}+\frac{\sin (2\theta )}{4}+C$$

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2. 三角函数的乘积

$$\cos A\cos B=\frac{\cos (A+B)+\cos (A-B)}{2},\sin A\sin B=\frac{\cos (A-B)-\cos (A+B)}{2}$$ $$\sin A\cos B=\frac{\sin (A+B)+\sin (A-B)}{2}$$

这些公式可以将乘积转化为和差形式，便于积分。

示例：

$$\int \sin \theta \cos \theta d\theta =\int \frac{\sin (2\theta )}{2}d\theta =-\frac{\cos (2\theta )}{4}+C$$

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3. 二次根式

形如 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$ 的积分，常用三角代换：

• 对于 $\sqrt{a^2-x^2}$，令 $x=a\sin \theta$。
• 对于 $\sqrt{x^2-a^2}$，令 $x=a\sec \theta$。
• 对于 $\sqrt{a^2+x^2}$，令 $x=a\tan \theta$。

示例：

$$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C$$

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4. 分母为平方和的形式

形如 $\frac{1}{a^2+x^2}$、$\frac{x}{a^2+x^2}$ 等，使用标准积分公式：

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$ $$\int \frac{x}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln (a^2+x^2)+C$$

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5. 分母为线性因子的幂

形如 $\frac{1}{(x+a{)}^n}$：

• 当 $n=1$ 时，$\int \frac{1}{x+a}dx=\ln |x+a|+C$
• 当 $n>1$ 时，$\int \frac{1}{(x+a{)}^n}dx=-\frac{1}{(n-1)(x+a{)}^{n-1}}+C$

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6. 指数与三角函数的乘积

形如 $e^{ax}\cos (bx)$、$e^{ax}\sin (bx)$ 的积分，使用分部积分或公式：

$$\int e^{ax}\cos (bx)dx=\frac{e^{ax}(a\cos (bx)+b\sin (bx))}{a^2+b^2}+C$$ $$\int e^{ax}\sin (bx)dx=\frac{e^{ax}(b\cos (bx)-a\sin (bx))}{a^2+b^2}+C$$

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7. 幂函数与对数函数的乘积

形如 $x^n\ln (x)$：

$$\int x^n\ln (x)dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln (x)-\frac{x^{n+1}}{(n+1{)}^2}+C(n\ne -1)$$

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8. 有理分式

对于分母为高次多项式的有理分式，常用 部分分式分解 简化成已知形式。

示例：

$$\int \frac{x^2}{x^3+x}dx=\int \frac{x}{x^2+1}dx+\int \frac{1}{x}dx$$

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9. 特殊函数的积分

$$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-x+C$$ $$\int \arctan (x)dx=x\arctan (x)-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$$