积分上限的函数及其导数

$f(x)$在区间$[a,b]$上连续, $x\in [a,b]$, 考虑如下定积分
${\int }_a^{x}f(x)dx$
由于定积分与积分变量的记法无关, 但是积分上限却是被$x$决定的定值,所以
${\int }_a^{x}f(x)dx={\int }_a^{x}f(t)dt$
这个定积分是一个关于$x$的函数, 对于给定的$x$, 定积分的值也是一个确切的数
$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$
这个积分上限函数的导数就是$f(x)$
${\Phi }^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$