几何级数示例

函数 $f(x)=\frac{1}{1-x}$ 是一个几何级数，可以通过其基本性质直接求出其麦克劳林展开。麦克劳林展开实际上是泰勒展开在 $x=0$ 处的特殊情形。对于 $\frac{1}{1-x}$，我们可以通过直接将其视为无穷级数来进行展开，前提是 $|x|<1$ 以确保级数收敛。

这里的级数是几何级数的形式，其求和公式为：
${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x},\text{for }|x|<1.$

这个级数的每一项都是 $x$ 的一个幂次，我们可以将其看作是函数 $\frac{1}{1-x}$ 的泰勒系数。由于泰勒系数是函数在展开点（此处为0）的 $n$ 阶导数除以 $n!$，我们来计算这些导数：

1. 零阶导数（即函数本身）：
   $f(x)=\frac{1}{1-x}$

2. 一阶导数：
   $f^{\prime }(x)=\frac{1}{(1-x{)}^2}$
   当 $x=0$ 时，$f^{\prime }(0)=1$。

3. 二阶导数：
   $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(1-x{)}^3}$
   当 $x=0$ 时，$f^{\prime \prime }(0)=2$。

4. 三阶导数：
   $f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{6}{(1-x{)}^4}$
   当 $x=0$ 时，$f^{\prime \prime \prime }(0)=6$。

5. 一般地，$n$ 阶导数：
   $f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}$
   因此，当 $x=0$ 时，$f^{(n)}(0)=n!$。

利用泰勒级数的定义：
$f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{n!}{n!}{x}^n={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n$

这个级数正是几何级数的表达形式，因此，我们得到函数 $\frac{1}{1-x}$ 在 $|x|<1$ 时的麦克劳林展开为：
$f(x)=\frac{1}{1-x}={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n.$

这是一个在 $|x|<1$ 内收敛的无穷级数，是 $\frac{1}{1-x}$ 在 $x=0$ 处的泰勒（麦克劳林）展开。