卷积

卷积描述了两个函数(信号)如何通过叠加来影响彼此, 是两个函数的二元算子, 使用$\ast$表示

连续

函数$f$与$g$的卷积表示为:

$$(f\ast g)(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$

离散

给定两个幂级数：
${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-c{)}^n$
${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n(x-c{)}^n$
它们的卷积为：
$(f\ast g)[n]={\sum }_{n=0}^{\infty }\left({\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)(x-c{)}^n$

或写成

$$(f\ast g)[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f[k]g[n-k]$$

性质

从中不难看出, 卷积满足以下性质

• 线性：$(f+g)\ast h=f\ast h+g\ast h$
• 交换律：$f\ast g=g\ast f$
• 结合律：$(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$
• 标量结合律：$(a\cdot f)\ast g=a\cdot (f\ast g)$
• 分配律：$f\ast (g+h)=f\ast g+f\ast h$