含参重积分

定义

含参重积分表示带有参数$\alpha$的函数在某个区域$V$内的积分：
$I(\alpha )={\iiint }_{V}f(x,y,z;\alpha )dV$
其中：

• $\alpha$为参数，$(x,y,z)$为空间变量，积分结果依赖于$\alpha$。
• $V$为积分区域。

计算

求导

如果积分表达式依赖于参数$\alpha$，其导数可通过对被积函数的$\alpha$偏导得到：

$\frac{dI}{d\alpha }={\iiint }_V\frac{\partial f(x,y,z;\alpha )}{\partial \alpha }dV$

换元

使用变量替换将积分区域$V$变换为$V^{\prime }$时，引入雅可比行列式$|J|$：

$I(\alpha )={\iiint }_{V^{\prime }}f(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z);\alpha )|J|d{V}^{\prime }$