球面坐标

表面积微元

面积元素 $dS=R^2\sin \varphi d\theta d\varphi$ 是球体表面在球坐标系中的面积元素。这个公式是从球坐标的参数化和表面积公式中得出的。具体的推导步骤如下：

推导

在球坐标系中，一个点的位置由三个坐标 $r,\theta ,\varphi$ 描述，其中：

• $r$ 是原点到点的直线距离。
• $\theta$ 是从正 $x$ 轴到点的投影在 $xy$ 平面的角度。
• $\varphi$ 是从正 $z$ 轴到该点的角度。

球体表面的参数化可以写为：

$$\mathbf{r}(\theta ,\varphi )=(r\sin \varphi \cos \theta ,r\sin \varphi \sin \theta ,r\cos \varphi )$$

其中 $r$ 是常数，表示球体的半径。

计算 $\mathbf{r}$ 对 $\theta$ 和 $\varphi$ 的偏导数：

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta }=(-r\sin \varphi \sin \theta ,r\sin \varphi \cos \theta ,0)$$ $$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi }=(r\cos \varphi \cos \theta ,r\cos \varphi \sin \theta ,-r\sin \varphi )$$

这两个向量的叉积给出了法向量的大小，它与表面元素的面积成正比：

$$\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta }\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi }\right|=r^2\sin \varphi$$

因此，面积元素 $dS$ 为：

$$dS=\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta }\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi }\right|d\theta d\varphi =r^2\sin \varphi d\theta d\varphi$$