总体和样本的期望与方差

总体和样本的期望与方差

在统计学中，总体（population）和样本（sample）的期望（均值）和方差是描述数据集中趋势和离散程度的重要指标。以下是总体和样本的期望与方差的定义和计算公式。

总体期望和方差

总体期望（均值）：总体的期望值是总体中所有个体数值的平均值。设总体中有 $N$ 个数据点 $X_1,X_2,\dots ,X_N$，则总体期望 $\mu$ 定义为：

$$\mu =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{X}_i$$

总体方差：总体的方差是总体中各个数据点与总体均值之间的平方差的平均值。设总体期望为 $\mu$，则总体方差 ${\sigma }^2$ 定义为：

$${\sigma }^2=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(X_i-\mu {)}^2$$

样本期望和方差

样本期望（均值）：样本的期望值是从总体中抽取的样本的所有个体数值的平均值。设样本中有 $n$ 个数据点 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，则样本期望 $\bar{x}$ 定义为：

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

样本方差：样本的方差是样本中各个数据点与样本均值之间的平方差的平均值，但为了使样本方差更好地估计总体方差，计算样本方差时需除以 $n-1$ 而不是 $n$。设样本期望为 $\bar{x}$，则样本方差 $s^2$ 定义为：

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$$

示例

假设我们有以下样本数据：2, 4, 6, 8, 10

1. 计算样本均值： $$\bar{x}=\frac{1}{5}(2+4+6+8+10)=\frac{30}{5}=6$$
2. 计算样本方差： $$s^2=\frac{1}{5-1}\sum _{i=1}^5(x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{1}{4}[(2-6{)}^2+(4-6{)}^2+(6-6{)}^2+(8-6{)}^2+(10-6{)}^2]$$ $$=\frac{1}{4}[16+4+0+4+16]=\frac{40}{4}=10$$

结论

• 总体期望（均值）：$\mu =\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{X}_i$
• 总体方差：${\sigma }^2=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N(X_i-\mu {)}^2$
• 样本期望（均值）：$\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$
• 样本方差：$s^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$
  总体期望和方差描述了总体的集中趋势和离散程度，而样本期望和方差则用于估计总体的这些特征。计算样本方差时需除以 $n-1$ 而不是 $n$，以减少估计的偏差。