考虑宽平稳随机过程 X(t) 的 Fourier 展开
其中根据 Fourier 展开的要求，T→∞，但问题出现：
∫−∞+∞∣X(t)∣dt<∞
未必成立，即 Fourier 展开不一定存在。这宣告用 Fourier 展开对宽平稳随机过程进行谱分析的思路失败（这不意味着非宽平稳随机过程也不可以）。
功率谱密度函数的获得
为了避开如上所述的问题， Wiener 和 Khinchine 把将问题改为计算
SX(ω)=limT→∞T1E∫−T/2T/2X(t)exp{−jωt}dt2
计算过程如下
\\\\ = & \;\dfrac1T\int^{T/2}_{-T/2}\int^{T/2}_{-T/2}\mathrm E\left(X\left(t\right)\,\overline{X\left(s\right)}\right)\exp\left\{-j\omega\left(t-s\right)\right\}\,\mathrm dt\mathrm ds
\\\\ = & \;\dfrac1T\iint R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\dfrac12\,\mathrm du\mathrm dv
\\\\ = & \;\dfrac1T\left(\int^0_{-T}\int^{u+T}_{-u-T}+\int^T_0\int^{-u+T}_{u-T}\right)\,R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\dfrac12\,\mathrm dv\mathrm du
\\\\ = & \;\dfrac1T\int^T_{-T}\int^{-\left|u\right|+T}_{\left|u\right|-T}R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\dfrac12\mathrm dv\mathrm du
\\\\ = & \;\dfrac1T\int^T_{-T}\left(T-\left|u\right|\right)\,R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\mathrm du
\\\\ = & \;\int^T_{-T}\left(1-\dfrac{\left|u\right|}T\right)\,R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\mathrm du
\\\\ = & \;\int^{+\infty}_{-\infty} R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\mathrm du \ \ \left(T\to\infty\right)
\end{aligned}$$
虽然我们不能找到随机过程的 Fourier 变换，但最后结果暗示找到了随机过程的相关函数的 Fourier 变换，即前文定义的新函数 $S_X\left(\omega\right)$
$$\begin{aligned}
& S_X\left(\omega\right)=\int^{+\infty}_{-\infty} R_X\left(\tau\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau
\\\\ & R_X\left(\tau\right)=\dfrac1{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty} S_X\left(\omega\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\omega
\end{aligned}\tag1$$
称 $S_X\left(\omega\right)$ 为功率谱密度。Bochner 定理是指：一个函数是正定函数，当且仅当它的 Fourier 变换对子恒为正数。从功率谱密度函数不难看出其恒正，那么相关函数是正定函数。
> [!theorem] Wiener-Khinchine 定理
>
> 任意一个宽平稳随机过程的功率谱密度是其相关函数的 Fourier 变换。
## 性质
### 性质 1
从 (1) 可知
$$\int^{+\infty}_{-\infty} S_X\left(\omega\right)\,\mathrm d\omega =2\pi R_X\left(0\right)=2\pi\mathrm E\left(X^2\left(t\right)\right)$$
### 性质 2
考察功率谱密度函数是否具有线性性。假设假设 $\alpha\in\mathbb R$
$$\begin{aligned}
S_{\alpha X}\left(\omega\right) & = \int^{+\infty}_{-\infty} R_{\alpha X}\left(\tau\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau
\\\\ & = \int^{+\infty}_{-\infty} R_{\alpha X}\left(\alpha X\left(t\right),\alpha X\left(s\right)\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau
\\\\ & = \int^{+\infty}_{-\infty} \mathrm E\left(\alpha X\left(t\right),\alpha X\left(s\right)\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau
\\\\ & = \int^{+\infty}_{-\infty} \left|\alpha\right|^2\,\mathrm E\left(X\left(t\right),X\left(s\right)\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau
\\\\ & = \int^{+\infty}_{-\infty} \left|\alpha\right|^2\,R_{X}\left(\tau\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau
\\\\ & = \left|\alpha\right|^2\,S_X\left(\omega\right)
\end{aligned}$$
结果不满足 $S_{\alpha X}\left(\omega\right)=\alpha S_X\left(\omega\right)$，所以功率谱密度没有线性性。
### 性质 3
对功率谱密度的 Fourier 变换表达式使用欧拉公式
$$\begin{aligned}S_X\left(\omega\right) & =\int^{+\infty}_{-\infty}R_X\left(\tau\right)\,\cos\left(-\omega \tau\right)\,\mathrm d\tau+j\int^{+\infty}_{-\infty}R_X\left(\tau\right)\,\sin\left(-\omega \tau\right)\,\mathrm d\tau\\\\&=\int^{+\infty}_{-\infty}R_X\left(\tau\right)\,\cos\left(\omega \tau\right)\,\mathrm d\tau+0=S_X\left(-\omega\right)\end{aligned}$$
可见功率谱密度函数是偶函数。并且在该推导基础上，相关函数的 Fourier 变换表达式简化为
$$R_X\left(\tau\right)=\dfrac1{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}S_X\left(\omega\right)\,\cos\left(\omega\tau\right)\,\mathrm d\omega$$