一次独立

一次独立（即线性无关）是指一个向量组中，任意一个向量不能由其他向量的线性组合表示。换句话说，如果一个向量组中的每个向量的线性组合为零向量时，所有系数都必须为零，那么这个向量组就是线性无关的。

假设我们有一个向量组 $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$，并且我们知道它们两两之间的内积。要证明这个向量组是线性无关的，可以利用这些内积来构造一个格拉姆矩阵，然后验证这个格拉姆矩阵是否正定。

格拉姆矩阵

格拉姆矩阵是一个对称的$n\times n$矩阵，定义为：

$$\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2& \cdots & {\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_n\\ {\mathbf{v}}_2\cdot {\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2\cdot {\mathbf{v}}_2& \cdots & {\mathbf{v}}_2\cdot {\mathbf{v}}_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathbf{v}}_n\cdot {\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_n\cdot {\mathbf{v}}_2& \cdots & {\mathbf{v}}_n\cdot {\mathbf{v}}_n\end{array}\right]$$Link to original

证明向量组线性无关

一个向量组$\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$是线性无关的，当且仅当对应的格拉姆矩阵$G$是正定的。也就是说，所有主子式的行列式都是正的，特别是整个矩阵的行列式不为零。

具体步骤如下：

1. 构造格拉姆矩阵：根据已知的内积，构造出格拉姆矩阵$G$。
2. 计算行列式：计算格拉姆矩阵$G$的行列式。如果$\det (G)\ne 0$，则向量组$\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$是线性无关的。
3. 验证主子式的正性（可选）：为了进一步确认，可以计算$G$的所有主子式的行列式，确保它们都是正的。

例子

假设我们有三个向量${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$，它们之间的内积如下：

$${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_1=4,{\mathbf{v}}_2\cdot {\mathbf{v}}_2=5,{\mathbf{v}}_3\cdot {\mathbf{v}}_3=6$$ $${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2=1,{\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_3=0,{\mathbf{v}}_2\cdot {\mathbf{v}}_3=2$$

那么它们的格拉姆矩阵为：

$$G=\left[\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ 1& 5& 2\\ 0& 2& 6\end{array}\right]$$

接下来，我们计算这个矩阵的行列式：

$$\det (G)=\left|\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ 1& 5& 2\\ 0& 2& 6\end{array}\right|=4\times (5\times 6-2\times 2)-1\times (1\times 6-2\times 0)+0\times (1\times 2-5\times 0)$$ $$=4\times (30-4)-1\times 6=4\times 26-6=104-6=98$$

由于$\det (G)=98\ne 0$，所以向量组$\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3\}$是线性无关的。

总结：通过构造格拉姆矩阵并验证其行列式不为零，可以证明任意向量组的线性无关性。