定义
个实数或复数,,…,所组成的有序数组称为维向量, 这个数称为该向量的个分量
分量都是实数则称为实向量, 分量为复数则称为复向量.
本系列中除特别指明外, 一般只讨论实向量
n维向量可以写成一行, 也可以写成一列, 一般习惯把n维向量写成列向量:
\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \dots\\ a_{n} \end{bmatrix}$$ $$a^T=[a_{1},a_{2},\dots,a_{n}]$$ 这样定义下的列向量做线性变换等于左乘矩阵$A$ --- 在解析几何中, 我们把既有大小又有方向的量称为向量, 并把可以随意平移的有向线段作为向量的几何意义. 在引进坐标系后, 这种向量就有了坐标表示方法: 3个有次序的实数, 也就是这里的3维向量. 但是当n>3时, n维向量就不再有这种直观的几何意义. 几何中, 空间通常作为全体点的集合, 这样的空间叫做**点空间**. 3维向量的全体组成的集合, 叫3维[[线性空间|向量空间]]. 在点空间选取坐标系后, 空间中的点与三维向量之间有了一一对应的关系, 因此向量空间可以类比为取定了坐标系的点空间. >[!info] 定义 > 若干个同维度的列向量组成的集合叫做**向量组**. >[!example]+ > > 1. $m\times n$矩阵的$n$个全体列向量 > 2. 线性方程组$A_{m\times n}x=0$的全体解, 当$R(A)<n$时是一个含有无限个n维列向量的向量组 含有有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应. >[!info] 定义 > >给定向量组$A: a_{1},a_{2},\dots,a_{m}$ >对于任何一组实数$k_{1},k_{2},\dots,k_{m}$ > $$k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\dots+k_{m}n_{m}$$ >称为向量组A的一个线性组合,$k_{i}$称为线性组合的系数 给定向量组$A$和向量$b$, 如果存在一组数$k_{i}$使得$b$能够被$A$的一个线性组合表示,则称为向量$b$能被向量组$A$线性表示