正交向量组是指在内积空间中互相正交的向量集合

性质

在一个正交向量组中，任意两个不同的向量的内积为零。设 ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ 是一个正交向量组，则对于任意 $i \neq = j$ ，有

v_{i} \cdot v_{j} = 0

正交向量组中的向量是线性无关的。即，如果 ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ 是一个正交向量组，则

c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + \dots + c_{n} v_{n} = 0

当且仅当 $c_{1} = c_{2} = \dots = c_{n} = 0$ 。

将正交向量组中的每个向量单位化，可以得到一个正交归一向量组。设 ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ 是一个正交向量组，则其对应的正交归一向量组为 ${u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}}$ ，其中

u_{i} = \frac{v _{i}}{∥ v _{i} ∥}

且满足

u_{i} \cdot u_{j} = {10 如果 i = j 如果 i \neq = j

在正交向量组构成的子空间中，可以简化向量投影的计算。设 ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ 是一个正交向量组，对于任意向量 $w$ ，其在该子空间的投影为

w_{proj} = i = 1 \sum n \frac{w \cdot v _{i}}{v _{i} \cdot v _{i}} v_{i}

正交向量组可以很方便地扩展成正交基。若正交向量组 ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ 张成的子空间为整个向量空间，则它们构成一个基，且这种基称为正交基。如果 ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ 已经是向量空间的一组基，则它们也是正交基。

如果向量可以表示为正交向量组的线性组合，那么计算它们之间的内积会更加简便。设 $u$ 和 $v$ 是两个向量，分别表示为

u = i = 1 \sum n a_{i} v_{i}, v = i = 1 \sum n b_{i} v_{i}

其中 ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ 是正交向量组，则

u \cdot v = i = 1 \sum n a_{i} b_{i} v_{i} \cdot v_{i}

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