复特征根

$n\times n$ 矩阵的特征方程是一个 $n$ 次多项式，若考虑复数根，该方程恰好有 $n$ 个根（重根按重复次数计算）。研究复特征值可以揭示矩阵中隐藏的信息，通常与周期、振动、旋转等问题相关。

基于 ${\mathbb{R}}^n$ 的矩阵特征值-特征向量理论同样适用于 ${\mathbb{C}}^n$。因此，复数 $\lambda$ 满足 $\det (A-\lambda I)=0$ 当且仅当在 ${\mathbb{C}}^n$ 中存在非零向量 $\mathbf{x}$，使得 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$。我们称这样的 $\lambda$ 为（复）特征值，$\mathbf{x}$ 为对应于 $\lambda$ 的（复）特征向量。

1. 向量的实部和虚部

${\mathbb{C}}^n$ 中复向量 $\mathbf{x}$ 的共轭向量 $\overline{\mathbf{x}}$ 也是 ${\mathbb{C}}^n$ 中的向量，其分量是 $\mathbf{x}$ 中对应分量的共轭复数。向量 $\mathrm{Re}\mathbf{x}$ 和 $\mathrm{Im}\mathbf{x}$ 分别称为复向量 $\mathbf{x}$ 的实部和虚部，分别由 $\mathbf{x}$ 的分量的实部和虚部组成。

假设 $B$ 是可能含有复元素的 $m\times n$ 矩阵，那么以 $B$ 中元素的共轭复数为元素的矩阵记为 $\overline{B}$。复数的共轭运算性质对复矩阵代数同样适用：

$$\overline{r\mathbf{x}}=\bar{r}\bar{\mathbf{x}},\overline{B\mathbf{x}}=\bar{B}\bar{\mathbf{x}},\overline{BC}=\bar{B}\bar{C},\overline{rB}=\bar{r}\bar{B}$$

2. 作用于 ${\mathbb{C}}^n$ 上的实矩阵的特征值和特征向量

设 $A$ 为 $n\times n$ 的实矩阵，则 $\overline{A\mathbf{x}}=\bar{A}\bar{\mathbf{x}}=A\bar{\mathbf{x}}$。如果 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\mathbf{x}$ 是对应于 $\lambda$ 的特征向量，那么：

$$A\bar{\mathbf{x}}=\overline{A\mathbf{x}}=\overline{\lambda \mathbf{x}}=\bar{\lambda }\bar{\mathbf{x}}$$

因此，$\bar{\lambda }$ 也是 $A$ 的特征值，$\bar{\mathbf{x}}$ 是对应的特征向量。这表明，当 $A$ 是实矩阵时，其复特征值以共轭复数对出现。这里的复特征值指形如 $\lambda =a+b\mathrm{i}$（$b\ne 0$）的特征值。

设 $C=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$，其中 $a$、$b$ 为实数且不全为零。那么，$C$ 的特征值是 $\lambda =a\pm b\mathrm{i}$。同样，若 $r=|\lambda |=\sqrt{a^2+b^2}$，则：

$$C=r\left[\begin{array}{cc}a/r& -b/r\\ b/r& a/r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& r\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]$$

其中，$\phi$ 是正 $x$ 轴与从 $(0,0)$ 到 $(a,b)$ 的射线之间的夹角，称为 $\lambda =a+b\mathrm{i}$ 的辐角。因此，变换 $\mathbf{x}\mapsto C\mathbf{x}$ 可视为旋转 $\phi$ 角度和缩放 $|\lambda |$ 的复合变换。

如果 $A$ 是实矩阵，则 $A(\mathrm{Re}\mathbf{x})=\mathrm{Re}(A\mathbf{x})$ 和 $A(\mathrm{Im}\mathbf{x})=\mathrm{Im}(A\mathbf{x})$。如果 $\mathbf{x}$ 是对应于复特征值的特征向量，则 $\mathrm{Re}\mathbf{x}$ 和 $\mathrm{Im}\mathbf{x}$ 是线性无关的。

定理 9 设 $A$ 是 $2\times 2$ 的实矩阵，具有复特征值 $\lambda =a-b\mathrm{i}$（$b\ne 0$）及对应的 ${\mathbb{C}}^2$ 中的复特征向量 $\mathbf{v}$，那么：

$$A=PC{P}^{-1},其中P=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\mathbf{v}& \mathrm{Im}\mathbf{v}\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$$

在更高维的矩阵中也存在类似情况。例如，若 $A$ 是由复特征值的 3×3 矩阵，那么在 ${\mathbb{R}}^3$ 中存在某个平面，$A$ 对平面的作用是旋转（可能还有倍乘），平面中每个向量被旋转到该平面的另一点上，我们称该平面在 $A$ 的作用下式不变的。