给定一个线性映射 ，其中 和 是向量空间， 的像空间是所有向量 的集合，其中 取遍 中的所有向量。
像空间可以表示为：
像空间是 的一个子空间。它包括了映射 通过其操作可以达到的 中的所有点。
性质
- 线性子空间：像空间 是 的一个线性子空间。
- 维度：像空间的维度称为映射的秩。对于矩阵 ，它的秩定义为线性无关的列的最大数目，也等于 的列空间的维度。
示例
考虑一个矩阵 作为从 到 的线性映射：
这里， 的像空间是由 的列向量生成的所有线性组合形成的子空间。这意味着任何由 中的列向量线性组合得到的向量都属于 的像空间。
应用
- 解线性方程组：像空间在解线性方程组中扮演着关键角色。方程组 有解当且仅当向量 在矩阵 的像空间中。
- 数学建模和数据分析：在数据分析中，研究数据点的分布往往涉及到对数据矩阵的像空间的研究，可以帮助理解数据的结构和信息维度。