基变换

Introduction

基变换是指在向量空间中，从一个基变换到另一个基的过程。

Definition

给定两个基 $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ 和 $\{e_1^{\prime },e_2^{\prime },\dots ,e_n^{\prime }\}$，任何向量 $v$ 在这两个基下的表示可以通过基变换矩阵 $T$ 相互转换。若 $v$ 在旧基下的表示为 $v_B$，在新基下的表示为 $v_{B^{\prime }}$，则有
$v_{B^{\prime }}=T{v}_B$

Properties

• 线性性：基变换是线性的，即变换矩阵 $T$ 为一个线性映射。
• 可逆性：若基变换矩阵 $T$ 可逆，则存在逆变换 $T^{-1}$。

Examples

• 若 $\{e_1,e_2\}$ 是二维空间的标准基，$\{e_1^{\prime },e_2^{\prime }\}$ 是另一组基，变换矩阵 $T$ 可以将向量在标准基下的坐标变换到新基下。

Applications

基变换在图形学、工程学和物理学中广泛应用。例如，计算机图形学中常使用基变换来进行坐标系的转换和图像的旋转。