子空间

定义

子空间是原向量空间的一个子集, $W\subset V$ ，它本身也构成一个向量空间。

1. 非空性：子空间至少包含原向量空间中的零向量, $0\in W$。
2. 封闭性(向量加法)：子空间中任意两个向量的加法仍然在子空间中, $\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in W$, $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in W$。
3. 封闭性(标量乘法)：子空间中的任意向量与任意标量的乘积仍然在子空间中, $c\mathbf{u}\in W$

示例

假设有向量空间 $V$ 是所有三维实向量构成的集合 ${\mathbb{R}}^3$，则子空间的例子包括：

• 整个 ${\mathbb{R}}^3$ 本身。
• 通过原点的任何直线（如所有形式为 $t\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$ 的向量集合，其中 $t$ 是任意实数，$a,b,c$ 是固定实数）。
• 通过原点的任何平面（如所有形式为 $s\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}d\\ e\\ f\end{array}\right]$ 的向量集合，其中 $s,t$ 是任意实数，$a,b,c,d,e,f$ 是固定实数）。