旋转变换

二维直角坐标的函数从原点旋转$\theta$°的旋转变换为: 对于函数上每点$(x,y)$右乘$R$:
$(x^{\prime },y^{\prime })=(x,y)\ast R$
得到新坐标$(x^{\prime },y^{\prime })$

其中$R$是二维旋转矩阵

$$R=\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& -sin(\theta )\\ sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]$$

三维

绕 x-轴的主动旋转

$$R_x({\theta }_x)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos {\theta }_x& -\sin {\theta }_x\\ 0& \sin {\theta }_x& \cos {\theta }_x\end{array}\right]=\exp \left({\theta }_x\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\right)$$

这里的 ${\theta }_x$ 是 roll 角，和右手螺旋的方向相反（在 yz 平面顺时针）。

绕 y-轴的主动旋转

$$R_y({\theta }_y)=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\theta }_y& 0& \sin {\theta }_y\\ 0& 1& 0\\ -\sin {\theta }_y& 0& \cos {\theta }_y\end{array}\right]=\exp \left({\theta }_y\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]\right)$$

这里的 ${\theta }_y$ 是 pitch 角，和右手螺旋的方向相反（在 zx 平面顺时针）。

绕 z-轴的主动旋转

$$R_z({\theta }_z)=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\theta }_z& -\sin {\theta }_z& 0\\ \sin {\theta }_z& \cos {\theta }_z& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\exp \left({\theta }_z\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\right)$$

这里的 ${\theta }_z$ 是 yaw 角，和右手螺旋的方向相反（在 xy 平面顺时针）。