零空间的计算过程

问题描述

给定一个矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right]$$

求该矩阵的零空间（null space）。

过程分析

1. 矩阵的简化（行简化阶梯形矩阵）
   对矩阵 $A$ 进行行简化：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

说明矩阵的秩为1，存在两个自由变量。

2. 解齐次方程组
   矩阵的零空间要求满足以下方程：

$$A\mathbf{x}=0$$

即：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

化简为：

$$x_1+2x_2+3x_3=0$$

3. 解出变量关系

$$x_1=-2x_2-3x_3$$

设 $x_2=s$，$x_3=t$，则：

$$x_1=-2s-3t$$ $$x_2=s$$ $$x_3=t$$

4. 写成向量形式

$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2s-3t\\ s\\ t\end{array}\right]=s\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

5. 得到零空间基
   矩阵的零空间为：

$$\text{null space}=\left\{\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$$

结论

矩阵 $A$ 的零空间是由两个线性无关向量生成的向量空间，即：

$$\text{null space}=\text{span}\left(\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right)$$