R04-数学-微积分

解析学・微積分

1. $R^m$ 上で微分可能な実数値関数 $f(x)(x=(x_1,x_2,\dots ,x_m))$ について, $x_i=v_i(t)(i=1,2,\dots ,m)$ とおく．ただし, 各 $v_i$ は $R$ 上で微分可能な関数とする．次の各問いに答えよ.
   • (a) $\frac{df}{dt}$ を $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ と $\frac{d{v}_i}{dt}(i=1,2,\dots ,m)$ で表せ.
   • (b) $m=2,f(x)=x_1^2+x_1{x}_2+2x_2^2,v_1(t)=\sin t,v_2(t)=e^t$ のとき, $\frac{df}{dt}$ を求めよ.
2. 次の微分方程式の一般解を求めよ. $\frac{dy}{dx}-2xy=e^{x^2}$
3. 閉曲線 $C$ に沿った複素積分 ${\oint }_C\frac{\cos z}{(2z-\pi {)}^3}dz$
   を求めよ．ただし, $C$ は円 $|z|=2$ とする.

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以下逐题进行解析并给出答案。为方便阅读，记号中会将 $\frac{d}{dx}$ 等常用符号直接写出，不再特别声明其含义。

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1. 多元函数的全微分与链式法则

设 $f:{\mathbb{R}}^m\to \mathbb{R}$ 在 ${\mathbb{R}}^m$ 上可微，记

$$x=(x_1,x_2,\dots ,x_m),$$

并令每个分量 $x_i=v_i(t)$（其中 $v_i:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 可微）。

(a) $\frac{df}{dt}$ 的表达式

由多元函数的链式法则可知

$$\frac{df}{dt}=\sum _{i=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\dots ,x_m)\frac{d{v}_i(t)}{dt}.$$

这就是所求的 (a) 小问的答案。

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(b) 具体函数与具体参数函数的例子

给定

$$m=2,f(x_1,x_2)=x_1^2+x_1{x}_2+2x_2^2,$$

并且

$$v_1(t)=\sin t,v_2(t)=e^t.$$

令 $x_1=v_1(t)=\sin t$, $x_2=v_2(t)=e^t$。要求
$\frac{df}{dt}$。

1. 先计算偏导数：

   $$\frac{\partial f}{\partial x_1}=2x_1+x_2,$$ $$\frac{\partial f}{\partial x_2}=x_1+4x_2.$$

2. 将 $x_1,x_2$ 替换成 $\sin t,e^t$：

   $$\frac{\partial f}{\partial x_1}(\sin t,e^t)=2\sin t+e^t,$$ $$\frac{\partial f}{\partial x_2}(\sin t,e^t)=\sin t+4e^t.$$

3. 还需要 $\frac{d{v}_1}{dt}=\cos t$ 和 $\frac{d{v}_2}{dt}=e^t$。

4. 由链式法则：

   $$\frac{df}{dt}=(2\sin t+e^t)\cos t+(\sin t+4e^t)e^t.$$

可根据需要再做一些展开，但通常保持上述形式即可。若展开则是

$$\frac{df}{dt}=2\sin t\cos t+e^t\cos t+\sin t{e}^t+4e^{2t}.$$

这就是所求的 $\frac{df}{dt}$。

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2. 一阶线性常微分方程

考虑微分方程

$$\frac{dy}{dx}-2xy=e^{x^2}.$$

这是一个标准的一阶线性方程

$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),$$

的形式，只是这里 $p(x)=-2x$，$q(x)=e^{x^2}$。
其解法通常用“积分因子” (integrating factor)：

1. 积分因子

   $$\mu (x)=\exp (\int -2xdx)=\exp (-x^2).$$

2. 将原方程左右同乘以 $\mu (x)$ 得

   $$e^{-x^2}\frac{dy}{dx}-2x{e}^{-x^2}y=e^{-x^2}{e}^{x^2}=1.$$

   观察左侧可知它是

   $$\frac{d}{dx}\left(y{e}^{-x^2}\right),$$

   因为

   $$\frac{d}{dx}\left(y{e}^{-x^2}\right)=e^{-x^2}\frac{dy}{dx}+y\frac{d}{dx}\left(e^{-x^2}\right)=e^{-x^2}\frac{dy}{dx}-2x{e}^{-x^2}y.$$

   这正好与我们上面左侧相同。

3. 因此积分化简为

   $$\frac{d}{dx}\left(y{e}^{-x^2}\right)=1.$$

   对 $x$ 积分：

   $$y{e}^{-x^2}=\int 1dx=x+C,$$

   其中 $C$ 为任意常数。

4. 最后解出 $y$：

   $$y=e^{x^2}(x+C).$$

这就是方程的通解。

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3. 复积分 ${\oint }_C\frac{\cos z}{(2z-\pi {)}^3}dz$，其中 $C:|z|=2$

我们要计算

$${\oint }_C\frac{\cos z}{(2z-\pi {)}^3}dz,$$

其中 $C$ 是以原点为中心、半径 2 的圆 $|z|=2$。

1. 奇点及其位置
   分母 $(2z-\pi {)}^3=0$ 给出奇点 $z=\frac{\pi }{2}$。
   数值上 $\pi \approx 3.14159$，故 $\frac{\pi }{2}\approx 1.5708$，其绝对值约 1.57，小于 2。因此 $z=\frac{\pi }{2}$ 在圆 $|z|=2$ 的内部。

2. 计算方法
   该奇点是三阶极点 (third-order pole)。根据留数定理 (Residue Theorem)，若函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 是一个极点且位于闭合曲线 $C$ 内，则

   $${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\cdot \mathrm{Res}(f,z_0).$$

   这里要找

   $$\mathrm{Res}(\frac{\cos z}{(2z-\pi {)}^3},z=\frac{\pi }{2}).$$

3. 留数的计算
   对于三阶极点，可以用“通用留数公式”：

   $$\mathrm{Res}(f,z_0)=\frac{1}{2!}\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{d^2}{d{z}^2}[(z-z_0{)}^{3}f(z)].$$

   在此处 $z_0=\frac{\pi }{2}$。先观察

   $$(z-\frac{\pi }{2}{)}^3\frac{\cos z}{(2z-\pi {)}^3}.$$

   注意到

   $$2z-\pi =2(z-\frac{\pi }{2}),$$

   因而

   $$(z-\frac{\pi }{2}{)}^3\frac{1}{(2z-\pi {)}^3}=(z-\frac{\pi }{2}{)}^3\frac{1}{(2(z-\frac{\pi }{2}){)}^3}=\frac{1}{8}.$$

   于是

   $$(z-\frac{\pi }{2}{)}^3\frac{\cos z}{(2z-\pi {)}^3}=\frac{\cos z}{8}.$$

   根据留数公式要取它对 $z$ 的二阶导数并在 $z\to \frac{\pi }{2}$ 处极限，然后再乘 $\frac{1}{2!}$。

   计算二阶导数：

   $$\frac{d}{dz}\left(\frac{\cos z}{8}\right)=\frac{-\sin z}{8},\frac{d^2}{d{z}^2}\left(\frac{\cos z}{8}\right)=\frac{-\cos z}{8}.$$

   在 $z=\frac{\pi }{2}$ 代入可得

   $${\frac{-\cos z}{8}|}_{z=\frac{\pi }{2}}=-\frac{\cos (\frac{\pi }{2})}{8}=-\frac{0}{8}=0.$$

   所以该二阶导数在 $z=\frac{\pi }{2}$ 的值是 0。由此可见

   $$\mathrm{Res}(\frac{\cos z}{(2z-\pi {)}^3},z=\frac{\pi }{2})=\frac{1}{2!}\times 0=0.$$

4. 由留数定理得出积分值
   既然留数为 0，那么

   $${\oint }_C\frac{\cos z}{(2z-\pi {)}^3}dz=2\pi i\times 0=0.$$

因此，该复积分等于 0。

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最终答案

1. (a)

$$\frac{df}{dt}=\sum _{i=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{d{v}_i}{dt}.$$

(b) 当 $m=2,f(x_1,x_2)=x_1^2+x_1{x}_2+2x_2^2,v_1(t)=\sin t,v_2(t)=e^t$ 时，

$$\frac{df}{dt}=(2\sin t+e^t)\cos t+(\sin t+4e^t)e^t.$$

2. 微分方程

$$\frac{dy}{dx}-2xy=e^{x^2}$$

的通解为

$$y=e^{x^2}(x+C),$$

其中 $C$ 为任意常数。

3. 复积分

$${\oint }_{|z|=2}\frac{\cos z}{(2z-\pi {)}^3}dz=0.$$