R04-数学-概率统计

確率・統計

2以上の自然数 $n$ に対して, $P=(P_1,\dots ,P_n)$ は一様ランダムに選ばれた $\{1,\dots ,n\}$ の順列とする．任意の自然数 $i,j(1\le i<j\le n)$ に対して,

$$X_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& (P_i>P_j\text{の場合})\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$

また, $Y_i={\sum }_{j=i+1}^n{X}_{ij}(1\le i\le n-1)$ とし, $Z={\sum }_{i=1}^{n-1}{Y}_i$ とする．以下の各問いに答えよ.

1. $Z$ の期待値 $E[Z]$ を求めよ.
2. $i(1\le i\le n-2)$ と $k(0\le k\le n-i)$ に対して, $Y_{n-1}=l(l\in \{0,1\})$ の条件の下で $Y_i=k$ となる条件付確率 $P[Y_i=k|Y_{n-1}=l]$ を求めよ.
3. $Z$ の分散 $\mathrm{Var}[Z]$ を求めよ. ただし,

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

を用いて良い.

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DeepSeekV3

解答

1. 求 $z$ 的期望 $e[z]$
   首先，考虑任意一对 $i<j$，$p_i$ 和 $p_j$ 是随机排列中的两个数，它们有相等的概率谁在前谁在后。所以 $e[x_{ij}]=p(p_i>p_j)=1/2$。
   然后 $y_i={\sum }_{j=i+1}^n{x}_{ij}$，所以 $e[y_i]={\sum }_{j=i+1}^{n}e[x_{ij}]=(n-i)\cdot 1/2$。
   接着，$z={\sum }_{i=1}^{n-1}{y}_i$，所以 $$e[z]=\sum _{i=1}^{n-1}e[y_i]=\sum _{i=1}^{n-1}(n-i)\cdot 1/2=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}\cdot \frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{4}$$ 因此，第一问的答案是 $$e[z]=\frac{n(n-1)}{4}$$
2. 求条件概率 $p[y_i=k\mid y_{n-1}=l]$
   给定 $y_{n-1}=l$，其中 $l\in \{0,1\}$，求 $p[y_i=k\mid y_{n-1}=l]$。
   通过分析，发现 $y_i$ 和 $y_{n-1}$ 在给定 $y_{n-1}=l$ 时是独立的，因此 $$p[y_i=k\mid y_{n-1}=l]=p[y_i=k]$$ $y_i$ 是二项分布 $\text{binomial}(n-i,1/2)$，所以 $$p[y_i=k]=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{k}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-i}$$ 因此，第二问的答案是 $$p[y_i=k\mid y_{n-1}=l]=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{k}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-i}$$
3. 求 $z$ 的方差 $\mathrm{var}[z]$
   首先，$z={\sum }_{i=1}^{n-1}{y}_i$，其中 $y_i={\sum }_{j=i+1}^n{x}_{ij}$，所以 $$z=\sum _{1\le i<j\le n}{x}_{ij}$$ 计算 $e[z^2]$： $$e[z^2]=\sum _{1\le i<j\le n}e[x_{ij}]+\sum _{(i,j)\ne (k,l)}e[x_{ij}{x}_{kl}]$$ 其中，$e[x_{ij}]=\frac{1}{2}$，$e[x_{ij}{x}_{kl}]=\frac{1}{4}$（完全不相交）或 $\frac{1}{3}$（有共同元素）。
   经过详细计算，得到 $$\mathrm{var}[z]=\frac{n(n-1)(n+2)}{24}$$ 因此，第三问的答案是 $$\mathrm{var}[z]=\frac{n(n-1)(n+2)}{24}$$