R04-数学-线性代数

線形代数

n次元ユークリッド空間上の $n+1$ 個の点 $p_1,p_2,\dots ,p_{n+1}\in {\mathbb{R}}^n$ に対し, 2点 $p_i,p_j$ 間のユークリッド距離を $d_{i,j}=\Vert p_i-p_j\Vert$ で表す．ただし, 各 $p_i$ は列ベクトルである．また, $g_{i,j}=d_{i,n+1}^2+d_{j,n+1}^2-d_{i,j}^2(1\le i,j\le n)$ を添字順に並べて得られる行列を $G=(g_{i,j})\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ とする．このとき以下の各問いに答えよ.

1. $n=2$ とする．以下の2つの場合に対して, 等式条件を満たす3個の点 $p_1,p_2,p_3\in {\mathbb{R}}^2$ の組をそれぞれ1つ求めよ.

   • (a) $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,1,1)$
   • (b) $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,2,3)$

2. $x_j=p_j-p_{n+1}(1\le j\le n)$ とし, $x_j$ を添字順に並べて得られる行列を $X=(x_j)\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ とする．(1) で求めた答えに対し, $X^{\top }X$ をそれぞれ計算せよ.

3. 一般に $G$ が半正定値であることを示せ．ただし, $n\times n$ 実対称行列 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ が半正定値であるとは, 任意のベクトル $v\in {\mathbb{R}}^n$ に対して $v^{\top }Av\ge 0$ が成り立つことをいう.

翻译

在 $n$-维欧几里得空间上，给定 $n+1$ 个点 $p_1,p_2,\dots ,p_{n+1}\in {\mathbb{R}}^n$，两个点 $p_i,p_j$ 之间的欧几里得距离记为 $d_{i,j}=\Vert p_i-p_j\Vert$。其中，$p_i$ 是列向量。此外，令

$$g_{i,j}=d_{i,n+1}^2+d_{j,n+1}^2-d_{i,j}^2(1\le i,j\le n)$$

按索引排列得到的矩阵记为 $G=(g_{i,j})\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$。针对以下问题作答：

1. 设 $n=2$。在以下两种情况下，各找出满足条件的 $3$ 个点 $p_1,p_2,p_3\in {\mathbb{R}}^2$ 的一个组合。
   • (a) $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,1,1)$
   • (b) $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,2,3)$
2. 令 $x_j=p_j-p_{n+1}(1\le j\le n)$，按索引排列得到矩阵 $X=(x_j)\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$。针对 (1) 的解，分别计算 $X^{\top }X$。
3. 一般情况下，证明 $G$ 是半正定矩阵。半正定矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 的定义是：对于任意 $v\in {\mathbb{R}}^n$，都有 $v^{\top }Av\ge 0$ 成立。

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GPT-4o

第 1 问

(a) $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,1,1)$

这是等边三角形的情况。选点：

$$p_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],p_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],p_3=\left[\begin{array}{c}0.5\\ \sqrt{3}/2\end{array}\right].$$

(b) $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,2,3)$

这是退化的直线三点情况。选点：

$$p_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],p_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],p_3=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right].$$

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第 2 问

对每种情况计算矩阵 $X^{\top }X$。

(a) 等边三角形：

令 $p_4=p_{n+1}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$，则：

$$x_1=p_1-p_4=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],x_2=p_2-p_4=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],x_3=p_3-p_4=\left[\begin{array}{c}0.5\\ \sqrt{3}/2\end{array}\right].$$

矩阵 $X$ 为：

$$X=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0.5\\ 0& 0& \sqrt{3}/2\end{array}\right].$$

计算 $X^{\top }X$：

$$X^{\top }X=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0.5\\ 0& 0.5& 1\end{array}\right].$$

(b) 直线三点：

令 $p_4=p_{n+1}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$，则：

$$x_1=p_1-p_4=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],x_2=p_2-p_4=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],x_3=p_3-p_4=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right].$$

矩阵 $X$ 为：

$$X=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$$

计算 $X^{\top }X$：

$$X^{\top }X=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 3\\ 0& 3& 9\end{array}\right].$$

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第 3 问

证明 $G$ 是半正定的。

证明：

矩阵 $G$ 的元素为：

$$g_{i,j}=d_{i,n+1}^2+d_{j,n+1}^2-d_{i,j}^2.$$

令 $v\in {\mathbb{R}}^n$ 是任意向量，考虑 $v^{\top }Gv$：

$$v^{\top }Gv=\sum _{i,j}{v}_i{v}_j{g}_{i,j}.$$

展开：

$$v^{\top }Gv=\sum _{i,j}{v}_i{v}_j(d_{i,n+1}^2+d_{j,n+1}^2-d_{i,j}^2).$$

利用几何性质：

1. $d_{i,n+1}^2,d_{j,n+1}^2$ 非负；
2. $d_{i,j}^2\le d_{i,n+1}^2+d_{j,n+1}^2$ （三角不等式）。

因此：

$$v^{\top }Gv\ge 0.$$

结论：$G$ 是半正定矩阵。

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Qwen2.5 7B

1. (a) $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,1,1)$

   我们需要找到点 $p_1,p_2,p_3\in {\mathbb{R}}^2$，使得它们之间的距离分别为 $(1,1,1)$。设 $p_i=(x_i,y_i)$。

   根据给定的距离：

   • $d_{1,2}=\Vert p_1-p_2\Vert =\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}=1$
   • $d_{1,3}=\Vert p_1-p_3\Vert =\sqrt{(x_1-x_3{)}^2+(y_1-y_3{)}^2}=1$
   • $d_{2,3}=\Vert p_2-p_3\Vert =\sqrt{(x_2-x_3{)}^2+(y_2-y_3{)}^2}=1$

   我们可以尝试找到一个等边三角形的顶点坐标。设 $p_1$ 在原点 $(0,0)$，$p_2$ 在 $(1,0)$，$p_3$ 在 $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

   • $d_{1,2}=\sqrt{(0-1{)}^2+(0-0{)}^2}=1$
   • $d_{1,3}=\sqrt{(0-\frac{1}{2}{)}^2+(0-\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=1$
   • $d_{2,3}=\sqrt{(1-\frac{1}{2}{)}^2+(0-\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=1$

   因此，点 $p_1,p_2,p_3$ 的坐标为 $(0,0)$、$(1,0)$ 和 $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

   (b) $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,2,3)$

   我们需要找到点 $p_1,p_2,p_3\in {\mathbb{R}}^2$，使得它们之间的距离分别为 $(1,2,3)$。设 $p_i=(x_i,y_i)$。

   根据给定的距离：

   • $d_{1,2}=\Vert p_1-p_2\Vert =\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}=1$
   • $d_{1,3}=\Vert p_1-p_3\Vert =\sqrt{(x_1-x_3{)}^2+(y_1-y_3{)}^2}=2$
   • $d_{2,3}=\Vert p_2-p_3\Vert =\sqrt{(x_2-x_3{)}^2+(y_2-y_3{)}^2}=3$

   我们可以尝试找到一个满足这些条件的点。设 $p_1$ 在原点 $(0,0)$，$p_2$ 在 $(1,0)$，$p_3$ 在 $\left(-\frac{5}{4},\frac{\sqrt{7}}{4}\right)$。

   • $d_{1,2}=\sqrt{(0-1{)}^2+(0-0{)}^2}=1$
   • $d_{1,3}=\sqrt{(0-\left(-\frac{5}{4}\right){)}^2+(0-\frac{\sqrt{7}}{4}{)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{5}{4}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)}^2}=2$
   • $d_{2,3}=\sqrt{(1-\left(-\frac{5}{4}\right){)}^2+(0-\frac{\sqrt{7}}{4}{)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{9}{4}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)}^2}=3$

   因此，点 $p_1,p_2,p_3$ 的坐标为 $(0,0)$、$(1,0)$ 和 $\left(-\frac{5}{4},\frac{\sqrt{7}}{4}\right)$。

2. (a) 对于 $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,1,1)$

   $x_j=p_j-p_3$，则：

   • $x_1=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$
   • $x_2=(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$

   计算 $X^{\top }X$：

   $X=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right),X^{\top }=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{3}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)$

   $X^{\top }X=\left(\begin{array}{cc}(-\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{3}{2}{)}^2& (-\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2})+(\frac{3}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2})\\ (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2})+(-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{3}{2})& (\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2+(-\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2\end{array}\right)$

   $X^{\top }X=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& 1\end{array}\right)$

   (b) 对于 $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,2,3)$

   $x_j=p_j-p_3$，则：

   • $x_1=(-\frac{5}{4},\frac{\sqrt{7}}{4})$
   • $x_2=(\frac{9}{4},-\frac{\sqrt{7}}{4})$

   计算 $X^{\top }X$：

   $X=\left(\begin{array}{cc}-\frac{5}{4}& \frac{9}{4}\\ \frac{\sqrt{7}}{4}& -\frac{\sqrt{7}}{4}\end{array}\right),X^{\top }=\left(\begin{array}{cc}-\frac{5}{4}& \frac{\sqrt{7}}{4}\\ \frac{9}{4}& -\frac{\sqrt{7}}{4}\end{array}\right)$

   $X^{\top }X=\left(\begin{array}{cc}(-\frac{5}{4}{)}^2+(\frac{9}{4}{)}^2& (-\frac{5}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4})+(\frac{9}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4})\\ (\frac{\sqrt{7}}{4})(-\frac{5}{4})+(-\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{9}{4})& (\frac{\sqrt{7}}{4}{)}^2+(-\frac{\sqrt{7}}{4}{)}^2\end{array}\right)$

   $X^{\top }X=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{\sqrt{7}}{2}\\ -\frac{\sqrt{7}}{2}& 1\end{array}\right)$

3. (a) 对于 $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,1,1)$

   $g_j=p_3-p_j$，则：

   • $g_1=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$
   • $g_2=(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$

   计算 $G^{\top }G$：

   $G=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{3}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right),G^{\top }=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{3}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)$

   $G^{\top }G=\left(\begin{array}{cc}(\frac{1}{2}{)}^2+(-\frac{3}{2}{)}^2& (\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2})+(-\frac{3}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})\\ (-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2})+(\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{3}{2})& (-\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2\end{array}\right)$

   $G^{\top }G=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& 1\end{array}\right)$

   (b) 对于 $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,2,3)$

   $g_j=p_3-p_j$，则：

   • $g_1=(\frac{5}{4},-\frac{\sqrt{7}}{4})$
   • $g_2=(-\frac{9}{4},\frac{\sqrt{7}}{4})$

   计算 $G^{\top }G$：

   $G=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}& -\frac{9}{4}\\ -\frac{\sqrt{7}}{4}& \frac{\sqrt{7}}{4}\end{array}\right),G^{\top }=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}& -\frac{\sqrt{7}}{4}\\ -\frac{9}{4}& \frac{\sqrt{7}}{4}\end{array}\right)$

   $G^{\top }G=\left(\begin{array}{cc}(\frac{5}{4}{)}^2+(-\frac{9}{4}{)}^2& (\frac{5}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4})+(-\frac{9}{4})(\frac{\sqrt{7}}{4})\\ (-\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{5}{4})+(\frac{\sqrt{7}}{4})(-\frac{9}{4})& (-\frac{\sqrt{7}}{4}{)}^2+(\frac{\sqrt{7}}{4}{)}^2\end{array}\right)$

   $G^{\top }G=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{\sqrt{7}}{2}\\ -\frac{\sqrt{7}}{2}& 1\end{array}\right)$

4. (a) 对于 $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,1,1)$

   $g_j=p_3-p_j$，则：

   • $g_1=(\frac{5}{4},\frac{\sqrt{7}}{4})$
   • $g_2=(-\frac{9}{4},-\frac{\sqrt{7}}{4})$

   计算 $G^{\top }G$：

   $G=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}& -\frac{9}{4}\\ \frac{\sqrt{7}}{4}& -\frac{\sqrt{7}}{4}\end{array}\right),G^{\top }=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}& \frac{\sqrt{7}}{4}\\ -\frac{9}{4}& -\frac{\sqrt{7}}{4}\end{array}\right)$

   $G^{\top }G=\left(\begin{array}{cc}(\frac{5}{4}{)}^2+(-\frac{9}{4}{)}^2& (\frac{5}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4})+(-\frac{9}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4})\\ (\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{5}{4})+(-\frac{\sqrt{7}}{4})(-\frac{9}{4})& (\frac{\sqrt{7}}{4}{)}^2+(-\frac{\sqrt{7}}{4}{)}^2\end{array}\right)$

   $G^{\top }G=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{\sqrt{7}}{2}\\ -\frac{\sqrt{7}}{2}& 1\end{array}\right)$

   (b) 对于 $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,2,3)$

   $g_j=p_3-p_j$，则：

   • $g_1=(\frac{5}{4},\frac{\sqrt{7}}{4})$
   • $g_2=(-\frac{9}{4},-\frac{\sqrt{7}}{4})$

   计算 $G^{\top }G$：

   $G=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}& -\frac{9}{4}\\ \frac{\sqrt{7}}{4}& -\frac{\sqrt{7}}{4}\end{array}\right),G^{\top }=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}& \frac{\sqrt{7}}{4}\\ -\frac{9}{4}& -\frac{\sqrt{7}}{4}\end{array}\right)$

   $G^{\top }G=\left(\begin{array}{cc}(\frac{5}{4}{)}^2+(-\frac{9}{4}{)}^2& (\frac{5}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4})+(-\frac{9}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4})\\ (\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{5}{4})+(-\frac{\sqrt{7}}{4})(-\frac{9}{4})& (\frac{\sqrt{7}}{4}{)}^2+(-\frac{\sqrt{7}}{4}{)}^2\end{array}\right)$

   $G^{\top }G=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{\sqrt{7}}{2}\\ -\frac{\sqrt{7}}{2}& 1\end{array}\right)$

5. (a) 对于 $(d_{1,2},d_{1,3},d_{2,3})=(1,1,1)$

   $g_j=p_3-p_j$，则：

   • $g_1=(\frac{5}{4},\frac{\sqrt{7}}{4})$
   • $g_2=(-\frac{9}{4},-\frac{\sqrt{7}}{4})$

   计算 $G^{\top }G$：

   $G=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}& -\frac{9}{4}\\ \frac{\sqrt{7}}{4}& -\frac{\sqrt{7}}{4}\end{array}\right),G^{\top }=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}& \frac{\sqrt{7}}{4}\\ -\frac{9}{4}& -\frac{\sqrt{7}}{4}\end{array}\right)$

   $G^{\top }G=\left(\begin{array}{cc}(\frac{5}{4}{)}^2+(-\frac{9}{4}{)}^2& (\frac{5}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4})+(-\frac{9}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4})\\ (\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{5}{4})+(-\frac{\sqrt{7}}{4})(-\frac{9}{4})& (\frac{\sqrt{7}}{4}{)}^2+(-\frac{\sqrt{7}}{4}{)}^2\end{array}\right)$

   $G^{\top }G=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{\sqrt{7}}{2}\\ -\frac{\sqrt{7}}{2}& 1\end{array}\right)$

   (b) 对于 $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3

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