R06-数学-向量分析

ベクトル解析

直交座標系において，$x$，$y$軸方向の単位ベクトルをそれぞれ $\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$ とする．次の (1)，(2) で示すベクトル場 $\mathbf{F}$ と経路 $C$ について，線積分

$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$

をそれぞれ求めよ．

1. ベクトル場

$$\mathbf{F}=(2x{y}^3-y)\mathbf{i}+(3x^2{y}^2-x)\mathbf{j}$$

とし，経路 $C$ を曲線

$$y^3+x^2-2xy=1$$

上で，始点 $(-13,-4)$ から終点 $(5,-4)$ までの部分とする．

2. ベクトル場

$$\mathbf{F}=(3e^{2x}+4y)\mathbf{i}+(x+7y{e}^y)\mathbf{j}$$

とする．経路 $C$ は，点 $P(0,0)$，$Q(2,2)$，$R(4,6)$，$S(1,3)$ を頂点とする四辺形であり，$P\to Q\to R\to S\to P$ の向きに一周するものとする．

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Vector Analysis

The unit vectors on x and y axes of Cartesian coordinates are denoted by i and j, respectively. Find each line integral ${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ of the vector field $F$ along the path $C$ defined in (1) and (2)

Let $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ be the unit vectors along the $x$- and $y$-axes in the Cartesian coordinate system, respectively. For the following vector fields $\mathbf{F}$ and paths $C$ given in (1) and (2), compute the line integrals

$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$$

1. Let

$$\mathbf{F}=(2x{y}^3-y)\mathbf{i}+(3x^2{y}^2-x)\mathbf{j},$$

and let $C$ be the portion of the curve

$$y^3+x^2-2xy=1$$

from $(-13,-4)$ to $(5,-4)$.

2. Let

$$\mathbf{F}=(3e^{2x}+4y)\mathbf{i}+(x+7y{e}^y)\mathbf{j},$$

and let $C$ be the quadrilateral with vertices $P(0,0)$, $Q(2,2)$, $R(4,6)$, and $S(1,3)$, oriented in the order $P\to Q\to R\to S\to P$.

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o1

解法の概略

(1) の線積分

1. ベクトル場が保守場（勾配ベクトル場）かの判定

   与えられた $\mathbf{F}=(2x{y}^3-y,3x^2{y}^2-x)$ について，

   $$\frac{\partial }{\partial y}(2x{y}^3-y)\text{と}\frac{\partial }{\partial x}(3x^2{y}^2-x)$$

   を比較すると，両者とも $6x{y}^2-1$ となり一致する．
   したがって $\mathbf{F}$ は保守場であり，あるスカラー関数 $\varphi (x,y)$ が存在して $\nabla \varphi =\mathbf{F}$ を満たす．

2. ポテンシャル関数 $\varphi (x,y)$ の求め方

   $\mathbf{F}=({\varphi }_x,{\varphi }_y)$ なので，

   $${\varphi }_x=2x{y}^3-y⟹\varphi (x,y)=\int (2x{y}^3-y)dx=x^2{y}^3-xy+g(y).$$

   次に ${\varphi }_y$ をとると，

   $${\varphi }_y=3x^2{y}^2-x+g^{\prime }(y)$$

   が与えられるが，これが $\mathbf{F}$ の第2成分 $3x^2{y}^2-x$ に一致するには $g^{\prime }(y)=0$ が必要なので，$g(y)$ は定数でよい．
   よって

   $$\varphi (x,y)=x^2{y}^3-xy$$

   としてよい．

3. 始点・終点でのポテンシャルを評価

   線積分 ${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ は保守場の場合

   $$\varphi (\text{終点})-\varphi (\text{始点})$$

   で与えられる．

   • $\varphi (5,-4)$ の計算 $$\varphi (5,-4)=5^2\times (-4{)}^3-5\times (-4)=25\times (-64)+20=-1600+20=-1580.$$
   • $\varphi (-13,-4)$ の計算 $$\varphi (-13,-4)=(-13{)}^2\times (-4{)}^3-((-13)\times (-4))=169\times (-64)-52=-10816-52=-10868.$$

   従って，

   $${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi (5,-4)-\varphi (-13,-4)=(-1580)-(-10868)=9288.$$

   これが (1) の答えになる．

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(2) の線積分

1. ベクトル場 $\mathbf{F}=(3e^{2x}+4y,x+7y{e}^y)$ が保守場かの判定

\frac{\partial}{\partial x}(x + 7y e^y) = 1.$$ これらは一致しないので，$\mathbf{F}$ は保守場ではない． 2. **経路 $C$ が閉曲線であることの確認** 頂点 $P\to Q\to R\to S\to P$ という四辺形を一周する向きなので，$C$ は閉曲線である． 3. **グリーンの定理の適用** $C$ が正の向き（反時計回り）で囲む領域を $D$ とすると，グリーンの定理より

 \oint_C (P\,dx + Q\,dy)
 \;=\;
 \iint_D 
   \biggl(
     \frac{\partial Q}{\partial x}
     - 
     \frac{\partial P}{\partial y}
   \biggr)\,dA
 \quad
 \bigl(P = 3e^{2x}+4y,\; Q=x+7y e^y \bigr).

$$ここで$$

\frac{\partial Q}{\partial x} = 1,
\quad
\frac{\partial P}{\partial y} = 4,

$$よって被積分関数は$$

1 - 4 = -3.

$$すなわち$$

 \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
 \;=\;
 \iint_D (-3)\,dA
 \;=\;
 -3 \iint_D 1\,dA
 \;=\;
 -3\,(\text{領域 }D\text{の面積}).

4. **四辺形 $PQRS$ の面積計算** 頂点を $P(0,0), Q(2,2), R(4,6), S(1,3)$ とするとき，座標を順に $(x_1,y_1)=(0,0)$, $(x_2,y_2)=(2,2)$, $(x_3,y_3)=(4,6)$, $(x_4,y_4)=(1,3)$ として多角形の面積公式（あるいは行列式による公式）を用いると

\text{Area}(D)

\frac{1}{2}
\bigl|
x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1
-
(y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)
\bigr|.

$$実際に計算すると$$

x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 = 0\cdot2 + 2\cdot6 + 4\cdot3 + 1\cdot0 = 24,

y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1 = 0\cdot2 + 2\cdot4 + 6\cdot1 + 3\cdot0 = 14,

よって差は $24 - 14 = 10$，面積は

 \frac12 \times 10 = 5.

$$従って$$

 \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
 \;=\;
 -3 \times 5
 \;=\;
 -15.

これが (2) の答えである． --- ## 最終的な答え 1. $\displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 9288.$ 2. $\displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -15.$ 以上が問題 (1)・(2) の線積分の値となります。