R06-数学-微积分

解析学・微積分 (Analysis and Calculus)

1. 次の積分を計算せよ：

   $$I={\int }_0^{\infty }{x}^5\exp (-x^4)dx$$

   ただし、以下を証明なく用いてよい：

   $${\int }_{-\infty }^{\infty }\exp (-x^2)dx=\sqrt{\pi }$$

2. 次の微分方程式の一般解を求めよ：

   $$\frac{dy}{dx}+y=x\sinh (x)$$

3. 複素関数 $f(z)=\frac{1}{z^4+1}$ を考える。以下に答えよ：

   1. $f(z)$ の極を全て求めよ。
   2. $C$ を図示した半円とし、$R>1$ の場合、複素積分 ${\int }_{C}f(z)dz$ を計算せよ。

4. 积分の計算
   次の積分を計算する：

   $$I={\int }_0^{\infty }{x}^5\exp (-x^4)dx$$

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解答：
変数変換 $t=x^4$ とすると、$dt=4x^{3}dx$ より $x^{3}dx=dt/4$。被積分関数は $x^5\exp (-x^4)=x^2\cdot x^3\exp (-x^4)$ となるため、

$$I={\int }_0^{\infty }{t}^{1/2}\exp (-t)\cdot \frac{dt}{4}=\frac{1}{4}{\int }_0^{\infty }{t}^{1/2}{e}^{-t}dt$$

これはガンマ関数 $\Gamma (3/2)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ を用いて、

$$I=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}=\frac{\sqrt{\pi }}{8}$$

答え：

$$I=\boxed{\frac{\sqrt{\pi }}{8}}$$

2. 微分方程式の一般解
   次の微分方程式を解く：

   $$\frac{dy}{dx}+y=x\sinh (x)$$

   解答：
   積分因子 $\mu (x)=e^x$ を掛けると、

   $$e^x\frac{dy}{dx}+e^{x}y=x{e}^x\sinh (x)$$

   左辺は $\frac{d}{dx}(e^{x}y)$ となる。右辺を計算するため、$\sinh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ を代入し、

   $$\int x\sinh (x)e^{x}dx=\frac{1}{2}\int x(e^{2x}-1)dx$$

   部分積分を行い、解を求めると、

   $$y=e^{-x}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}-\frac{x^2}{2}\right)+C\right)$$

   整理して、
   答え：

   $$y=\boxed{\left(\frac{x}{4}-\frac{1}{8}\right)e^x+\left(C-\frac{x^2}{4}\right)e^{-x}}$$

3. 複素関数の極と積分
   (i) 極の特定
   関数 $f(z)=\frac{1}{z^4+1}$ の極は、$z^4=-1$ の解である。
   解は $z=e^{i(\pi /4+k\pi /2)}$ （$k=0,1,2,3$）、すなわち

   $$z=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\pm i\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   答え：
   極は

   $$\boxed{z=e^{i\pi /4},e^{i3\pi /4},e^{i5\pi /4},e^{i7\pi /4}}$$

   (ii) 複素積分の計算
   上半平面の半円周 $C$ に沿う積分を留数定理で計算する。上半平面内の極は $e^{i\pi /4}$ と $e^{i3\pi /4}$ の2つ。各極の留数は

   $$\text{Res}(f,e^{i\pi /4})=\frac{1}{4e^{i3\pi /4}},\text{Res}(f,e^{i3\pi /4})=\frac{1}{4e^{i\pi /4}}$$

   留数の和は $-\frac{i}{2\sqrt{2}}$。積分値は

   $${\int }_{C}f(z)dz=2\pi i\cdot \left(-\frac{i}{2\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi }{\sqrt{2}}$$

   答え：

   $$\boxed{\frac{\pi }{\sqrt{2}}}$$