R06-数学-线性代数

線形代数 (Linear Algebra)

1. 実数行列 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ および実数ベクトル $b\in {\mathbb{R}}^m$ に対して、集合を以下のように定義する： $$S=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid Ax=b\},f(x)=Ax$$ 次の事実を証明なく用いてよい。
   • ベクトル空間 $V$ の部分空間 $W\subseteq V$ である条件は次の通りである：
     • $C1:0\in W$
     • $C2:u,v\in W⟹u+v\in W$
     • $C3:u\in W,c\in \mathbb{R}⟹cu\in W$
       以下に答えよ：
   1. $A=\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 2& 0\\ 0& 8& 24& 24\\ 0& 2& 6& 6\end{array}\right]$ の場合、写像 $f$ のカーネル $\mathrm{Ker}(f)$ の次元と基底を求めよ。
   2. 一般的に $\mathrm{Ker}(f)$ が ${\mathbb{R}}^n$ の部分空間であることを示せ。
   3. $S\subseteq {\mathbb{R}}^n$ が部分空間の場合、$b=0$ を示せ。
   4. $S\subseteq {\mathbb{R}}^n$ が部分空0不8間かつ $A$ が正方行列の場合、$A$ が可逆なら $S=\{0\}$ を示せ。

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1. 求Ker(f)的维度和基底
   给定矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 2& 0\\ 0& 8& 24& 24\\ 0& 2& 6& 6\end{array}\right]$，我们对其进行行化简： $$\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 2& 0\\ 0& 8& 24& 24\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$ 矩阵的秩为2，因此Ker(f)的维度为 $4-2=2$。
   解方程 $Ax=0$： $$\{\begin{array}{l}2x_1+2x_3=0\\ 8x_2+24x_3+24x_4=0\\ 2x_2+6x_3+6x_4=0\end{array}$$ 化简得： $$x_1=-x_3,x_2=-3x_3-3x_4$$ 设 $x_3=s,x_4=t$，则解向量为： $$x=s\left[\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 1\\ 0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$ 因此，Ker(f)的基底为 $\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$，维度为2。
2. 证明Ker(f)是 ${\mathbb{R}}^n$ 的部分空间
   根据部分空间的定义，需验证C1, C2, C3：
   • C1: $0\in \text{Ker}(f)$，因为 $A0=0$。
   • C2: 若 $u,v\in \text{Ker}(f)$，则 $A(u+v)=Au+Av=0+0=0$，故 $u+v\in \text{Ker}(f)$。
   • C3: 若 $u\in \text{Ker}(f)$，则 $A(cu)=c(Au)=c0=0$，故 $cu\in \text{Ker}(f)$。
     因此，Ker(f)是 ${\mathbb{R}}^n$ 的部分空间。
3. 若 $S\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是部分空间，证明 $b=0$
   由于 $S$ 是部分空间，必须包含0向量。即 $0\in S$，所以 $A0=b$，即 $b=0$。
4. 若 $S\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是部分空间且 $A$ 是正方形可逆矩阵，证明 $S=\{0\}$
   已知 $S$ 是部分空间，根据第3题，$b=0$，所以 $S=\text{Ker}(f)$。
   由于 $A$ 可逆，秩为 $n$，故Ker(f)只有零向量，即 $S=\{0\}$。