例题-分部积分法

求解 $\int e^{-x}\cdot \sin (x)dx$

1. 换元, 将 $\sin (x)$ 化入dx后, 分部积分
   $=-e^{-x}\cdot \cos (x)-\int \cos (x)d(-e^{-x})$
2. 换元, 将 $\cos (x)$ 化入dx后, 再次使用分部积分

$$=-e^{-x}\cdot \cos (x)-[e^{-x}\cdot \sin (x)+\int e^{-x}\cdot \sin (x)dx]$$

3. 对两部分分别分部积分后得到相同的原式以及不同的部分, 移项

$$2\int e^{-x}\cdot \sin (x)dx=-e^{-x}\cdot [\sin (x)+\cos (x)]$$

思路

使用两次分部积分法得到与原式相同部分, 移项后得解

注意点

两次分部积分要对$sin(x)$部分分别积分一次
否则只能得到两边完全相同的结果相消后为 $0=0$ 的恒等式