例题-拉格朗日函数求极值

我们考虑 $r_1+r_2+r_3=0$，并要求 $r_1,r_2,r_3$ 构成向量范数的最小值。我们需要最小化 $\Vert r{\Vert }^2$，其中 $r=(r_1,r_2,r_3)$。假设 $r_1,r_2,r_3$ 是复数（或实数）。向量的范数定义为：

$\Vert r{\Vert }^2=|r_1{|}^2+|r_2{|}^2+|r_3{|}^2$

其中 $|r_i|$ 是复数 $r_i$ 的模。如果我们要求范数 $\Vert r\Vert$ 最小化，我们可以使用拉格朗日乘数法来解决此问题。

定义拉格朗日函数：

$\mathcal{L}(r_1,r_2,r_3,\lambda )=|r_1{|}^2+|r_2{|}^2+|r_3{|}^2+\lambda (r_1+r_2+r_3)$

其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。

对每个变量求偏导数，并设置为零：

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_1}=2r_1+\lambda =0$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_2}=2r_2+\lambda =0$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_3}=2r_3+\lambda =0$

由这些方程，我们可以得到：

$r_1=r_2=r_3=-\frac{\lambda }{2}$

我们还需要满足约束条件 $r_1+r_2+r_3=0$，将上式代入约束条件中：

$-\frac{\lambda }{2}+-\frac{\lambda }{2}+-\frac{\lambda }{2}=0$
$-\frac{3\lambda }{2}=0$
$\lambda =0$

因此，$r_1=r_2=r_3=0$。这说明在满足约束条件的情况下，向量范数的最小值为零，即：

$\Vert r{\Vert }^2=|0{|}^2+|0{|}^2+|0{|}^2=0$

因此，$r_1,r_2,r_3$ 构成向量范数的最小值是 $r_1=r_2=r_3=0$。

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在包含额外约束 $r_1=\frac{1}{2}$ 的情况下，我们需要更新拉格朗日函数来考虑这个新约束。

原问题是最小化

$\Vert r{\Vert }^2=|r_1{|}^2+|r_2{|}^2+|r_3{|}^2$

约束条件为：

1. $r_1+r_2+r_3=0$
2. $r_1=\frac{1}{2}$

我们引入两个拉格朗日乘数 $\lambda$ 和 $\mu$，分别对应这两个约束条件。

定义拉格朗日函数：

$\mathcal{L}(r_1,r_2,r_3,\lambda ,\mu )=|r_1{|}^2+|r_2{|}^2+|r_3{|}^2+\lambda (r_1+r_2+r_3)+\mu (r_1-\frac{1}{2})$

我们分别对 $r_1,r_2,r_3,\lambda$ 和 $\mu$ 求偏导数，并设置为零：

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_1}=2r_1+\lambda +\mu =0(1)$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_2}=2r_2+\lambda =0(2)$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_3}=2r_3+\lambda =0(3)$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda }=r_1+r_2+r_3=0(4)$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mu }=r_1-\frac{1}{2}=0(5)$

从方程 (5) 得到：

$r_1=\frac{1}{2}(6)$

将 (6) 代入方程 (1)：

$2\left(\frac{1}{2}\right)+\lambda +\mu =0$
$1+\lambda +\mu =0(7)$

从方程 (2) 和 (3) 得到：

$r_2=-\frac{\lambda }{2}(8)$
$r_3=-\frac{\lambda }{2}(9)$

将 (6), (8) 和 (9) 代入方程 (4)：

$\frac{1}{2}-\frac{\lambda }{2}-\frac{\lambda }{2}=0$
$\frac{1}{2}-\lambda =0$
$\lambda =\frac{1}{2}(10)$

将 (10) 代入 (8) 和 (9)：

$r_2=-\frac{\frac{1}{2}}{2}=-\frac{1}{4}(11)$
$r_3=-\frac{\frac{1}{2}}{2}=-\frac{1}{4}(12)$

所以，我们有：

$r_1=\frac{1}{2}$
$r_2=-\frac{1}{4}$
$r_3=-\frac{1}{4}$

最后，计算范数的平方：

$\Vert r{\Vert }^2={\left|\frac{1}{2}\right|}^2+{\left|-\frac{1}{4}\right|}^2+{\left|-\frac{1}{4}\right|}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{2}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$

因此，最小化的范数的平方为 $\frac{3}{8}$。