第二类曲面积分例题 1

当向量场从 $(x, y, 0)$ 变为 $(x^{3}, z^{2}, y)$ 时，需要重新计算通过圆柱侧面以及上下两个平面的通量。以下是详细步骤：

圆柱的半径为 $R = 1$ ，高度为 $H = 1$ 。圆柱侧面的参数化为：

r (θ, z) = (cos θ, sin θ, z)

通过之前的推导，我们知道圆柱侧面的面积元素为：

d S = (cos θ, sin θ, 0) d θ d z

对于新的向量场 $A = (x^{3}, z^{2}, y)$ ，在圆柱侧面上：

A = (cos^{3} θ, z^{2}, sin θ)

通量计算为：

\int_{侧面} A \cdot d S = \int_{0}^{H} \int_{0}^{2 π} (cos^{3} θ, z^{2}, sin θ) \cdot (cos θ, sin θ, 0) d θ d z

计算点积：

(cos^{3} θ) cos θ + (z^{2}) sin θ = cos^{4} θ

通量积分为：

\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} cos^{4} θ d θ d z

这里用到一个常用的三角积分公式：

\int_{0}^{2 π} cos^{4} θ d θ = \frac{3 π}{4}

所以：

\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} cos^{4} θ d θ d z = \int_{0}^{1} \frac{3 π}{4} d z = \frac{3 π}{4}

在底面 $z = 0$ 上，向量场 $A = (x^{3}, 0, y)$ ：

d S = (0, 0, - 1) d A = (0, 0, - 1) r d r d θ

通量计算为：

\int_{底面} A \cdot d S = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (r^{3} cos^{3} θ, 0, r sin θ) \cdot (0, 0, - 1) r d r d θ

= - \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r^{2} sin θ r d r d θ = - \int_{0}^{2 π} sin θ d θ \int_{0}^{1} r^{3} d r

其中， $\int_{0}^{2 π} sin θ d θ = 0$ ，因此底面的通量为零。

在顶面 $z = 1$ 上，向量场 $A = (x^{3}, 1, y)$ ：

d S = (0, 0, 1) d A = (0, 0, 1) r d r d θ

通量计算为：

\int_{顶面} A \cdot d S = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (r^{3} cos^{3} θ, 1, r sin θ) \cdot (0, 0, 1) r d r d θ

= \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r^{2} sin θ r d r d θ = \int_{0}^{2 π} sin θ d θ \int_{0}^{1} r^{3} d r

其中， $\int_{0}^{2 π} sin θ d θ = 0$ ，因此顶面的通量也为零。

\frac{3 π}{4}

所以总通量仅由侧面贡献，结果为 $\frac{3 π}{4}$ 。

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