82-sc-r3 追試験 問題1 問2

(1)

对于极点在积分路径上的情况，直接使用留数定理求解会遇到问题。这里我们将对路径进行处理，使其不经过极点，然后再应用留数定理。具体步骤如下：

1. 识别奇点：
   积分函数为：
   $\frac{e^{\frac{z}{3}}}{z+\pi i}$
   奇点在 $z=-\pi i$。

2. 路径变形：
   积分路径 $C_1$ 是以 $|z+\pi i|=1$ 表示的圆周。这个路径经过奇点 $z=-\pi i$。为了处理这种情况，我们可以将路径略微变形，使其绕过奇点。在实际操作中，我们可以考虑在奇点附近形成一个小的半圆（绕过奇点），然后再应用留数定理。

3. 计算主值积分：
   我们可以将积分分为两部分：主值积分和绕过奇点的小弧线积分。这里我们仅考虑主值积分的部分，因为绕过奇点的小弧线积分在极限中趋于零。

4. 应用留数定理：
   留数定理告诉我们，绕路径 $C_1$ 积分的结果是该路径内部所有奇点的留数之和乘以 $2\pi i$。

   奇点 $z=-\pi i$ 的留数为：
   $\text{Res}\left(\frac{e^{\frac{z}{3}}}{z+\pi i},z=-\pi i\right)={\lim }_{z\to -\pi i}(z+\pi i)\cdot \frac{e^{\frac{z}{3}}}{z+\pi i}=e^{-\frac{\pi i}{3}}$

5. 计算积分：
   由于路径仅包含一个奇点 $z=-\pi i$，应用留数定理：
   ${\oint }_{C_1}\frac{e^{\frac{z}{3}}}{z+\pi i}dz=2\pi i\cdot e^{-\frac{\pi i}{3}}$

因此，积分的值为：
${\oint }_{C_1}\frac{e^{\frac{z}{3}}}{z+\pi i}dz=2\pi i\cdot e^{-\frac{\pi i}{3}}$

总结：
当极点位于积分路径上时，通常需要对路径进行适当变形，使其绕过极点，从而可以应用留数定理进行计算。在实际计算中，我们关注路径上的奇点并利用其留数来计算积分。

(2)

To solve the given complex integral using the residue theorem, follow these steps:

1. Identify the Singularities:
   The integrand is:
   $\frac{e^{-z}}{(z-i{)}^2}$
   The singularity is at $z=i$.

2. Determine the Order of the Pole:
   The singularity at $z=i$ is a pole of order 2.

3. Residue Calculation:
   For a pole of order 2, the residue can be found using the formula:
   $\text{Res}\left(f,a\right)={\lim }_{z\to a}\frac{d}{dz}\left[(z-a{)}^{2}f(z)\right]$
   In this case, $a=i$.

   Let’s find the residue at $z=i$:
   $f(z)=\frac{e^{-z}}{(z-i{)}^2}$
   $\text{Res}\left(\frac{e^{-z}}{(z-i{)}^2},z=i\right)={\lim }_{z\to i}\frac{d}{dz}\left[e^{-z}\right]$
   Differentiating $e^{-z}$ with respect to $z$:
   $\frac{d}{dz}\left[e^{-z}\right]=-e^{-z}$

   Evaluating at $z=i$:
   $\text{Res}\left(\frac{e^{-z}}{(z-i{)}^2},z=i\right)=-e^{-i}$

4. Use the Residue Theorem:
   The residue theorem states:
   ${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum \text{Res}(f,\text{poles inside }C)$

   Since the only pole inside $|z|=2$ is at $z=i$, we have:
   ${\oint }_{C_2}\frac{e^{-z}}{(z-i{)}^2}dz=2\pi i(-e^{-i})$
   $=-2\pi i{e}^{-i}$

Therefore, the value of the integral is:
${\oint }_{C_2}\frac{e^{-z}}{(z-i{)}^2}dz=-2\pi i{e}^{-i}$