82-sc-r3 追試験問題3 問1 (1)

问题可以用贝叶斯定理来解决。具体步骤如下：

定义事件：
- 事件 $H_{A}$ : 选择了A硬币
- 事件 $H_{B}$ : 选择了B硬币
- 事件 $E$ : 第一次投掷结果是正面，第二次投掷结果是反面
确定先验概率：
- $P (H_{A}) = P (H_{B}) = 0.5$ ，因为选择A或B硬币的概率是相等的
计算每种硬币投出正反面的概率：
- 硬币A投出正面再投出反面的概率 $P (E ∣ H_{A}) = 0.6 \times (1 - 0.6) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$
- 硬币B投出正面再投出反面的概率 $P (E ∣ H_{B}) = 0.5 \times (1 - 0.5) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$
利用全概率公式计算事件E的总概率：
$P (E) = P (E ∣ H_{A}) P (H_{A}) + P (E ∣ H_{B}) P (H_{B}) = 0.24 \times 0.5 + 0.25 \times 0.5 = 0.12 + 0.125 = 0.245$
利用贝叶斯定理计算在事件E发生的情况下选择了A硬币的后验概率：
$P (H_{A} ∣ E) = \frac{P ( E ∣ H _{A} ) P ( H _{A} )}{P ( E )} = \frac{0.24 \times 0.5}{0.245} \approx 0.4898$

综上所述，选中硬币A的概率约为0.4898。

我们可以通过贝叶斯定理求解选中硬币A和B的尤度及事后概率。以下是详细的解答步骤：

尤度表示在特定条件下观察到某个结果的概率。在这个问题中，我们需要计算选中硬币A和B时，投掷出第一次正面和第二次反面的概率。

选中硬币A的尤度：
- 硬币A的表面概率是0.6，反面概率是0.4。
- 因此，硬币A投出正面再投出反面的概率为：
  $P (E ∣ H_{A}) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$
选中硬币B的尤度：
- 硬币B的表面概率是0.5，反面概率是0.5。
- 因此，硬币B投出正面再投出反面的概率为：
  $P (E ∣ H_{B}) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$

我们需要计算在已知投掷结果的情况下选中硬币A和B的事后概率。利用贝叶斯定理：

$P (H_{A} ∣ E) = \frac{P ( E ∣ H _{A} ) \cdot P ( H _{A} )}{P ( E )}$
$P (H_{B} ∣ E) = \frac{P ( E ∣ H _{B} ) \cdot P ( H _{B} )}{P ( E )}$

首先，计算事件E的总概率：
$P (E) = P (E ∣ H_{A}) \cdot P (H_{A}) + P (E ∣ H_{B}) \cdot P (H_{B})$

由于选中硬币A和B的概率相等：
$P (H_{A}) = P (H_{B}) = 0.5$

所以：
$P (E) = 0.24 \times 0.5 + 0.25 \times 0.5 = 0.12 + 0.125 = 0.245$

接下来，计算事后概率：

这就是选中硬币A和B的尤度及事后概率的计算过程。

全概率公式（Law of Total Probability）是概率论中的一个基本定理，用来将某一事件的总概率表示为一组互斥且完备的事件的概率加权和。对于一个事件 $E$ ，如果 $H_{1}, H_{2}, \dots, H_{n}$ 是一组互斥且完备的事件，那么全概率公式可以表示为：

P (E) = i = 1 \sum n P (E ∣ H_{i}) \cdot P (H_{i})

在这个问题中，我们有两个互斥且完备的事件：

因此，事件 $E$ （第一次投掷结果是正面，第二次投掷结果是反面）的总概率 $P (E)$ 可以表示为：

P (E) = P (E ∣ H_{A}) \cdot P (H_{A}) + P (E ∣ H_{B}) \cdot P (H_{B})

我们已经知道：

将这些值代入全概率公式：

P (E) = 0.24 \cdot 0.5 + 0.25 \cdot 0.5

计算得到：

P (E) = 0.12 + 0.125 = 0.245

这个结果是我们在之前的计算中使用的 $P (E)$ 。通过全概率公式，我们可以正确地将复杂事件的概率分解为一组简单事件的概率加权和。

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