82-sc-r4

専門試験

問題１

問１

(1)

次の極限値を求めよ。
${\lim }_{n\to 0}\frac{x-{\log }_e(1+x)}{x^2}$

(2)

実数 $x$, $y$, $z$ が$xy+yz+zx=k^2$ (ただし、$x>0$, $y>0$, $z>0$, $k>0$)を満たすとき、$xyz$ の最大値を求めよ。

問２

次の実関数$f(t)$ (ただし、$t>0$)について、以下の問に答えよ
$f(t)={\int }_0^t{e}^{-\tau }\cos \omega \tau d\tau$

(1)

$f(t)$ のラプラス変換 $F(S)$ を求めよ。ラプラス変換は次式で定義される。ただし， $Re(s)>0$ とする。$Re(s)$ は複素数 $s$ の実部を表す

(2)

${\lim }_{t\to \infty }f(t)$ を求めよ。

問３

3 次元空間に直交座標系 $O-xyz$ をとる。$x^2+y^2\le 1$, $0\le z\le h(1-x-y)$ で定めら れる立体 C について，以下の問に答えよ。ただし，$h\ge 0$ とする。

(1)

立体 C のうち，$x\ge 0$, $y\ge 0$ で定められる領域の体積 $V1$ を求めよ。

(2)

立体 C の体積 $V2$ を求めよ。

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問題2

問1

2阶正方矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$ 有关的問題：

(1)

求矩阵 $A$ 的所有固有值和对应的固有向量，并将固有向量归一化至长度为1。

(2)

求矩阵 $A^n$（$n$ 为自然数）。

問2

某点以角速度 $\omega$（$\omega >0$）在三维空间内进行等速圆周运动。回转轴通过原点 $O$，并用单位向量 $\vec{p}$ 表示。设这个旋转点在时刻 $t$ 的位置为 $\vec{x}(t)$。使用3阶正方矩阵 $C$ 来表示，点的速度可以表示为 $\frac{d\vec{x}(t)}{dt}=C\vec{x}(t)$。请用 $\vec{p}=(p_1,p_2,p_3{)}^T$ 中的元素 $p_i$ (i = 1, 2, 3) 和角速度 $\omega$ 来表示矩阵 $C$。行列的转置表示为 $A^T$。

問2解

82-sc-r4 問題2 問2

問3

$X$ 是实反对称矩阵，即 $X^T=-X$。定义 $y=\exp (X)$，其中 $\exp (X)$ 为 $\exp (X)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{X^n}{n!}$。

(1)

求 $y$ 的行列式 $\det (y)$。假设实反对称矩阵可以对角化，其非零固有值为纯虚数，成对出现，如 $\pm {\lambda }_1,\pm {\lambda }_2,\dots$。

(2)

求 $Y{Y}^T$ 和 $Y^{T}Y$。

問3解

82-sc-r4 問題2 問3

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問題3

問1

给定概率变量 $X$ 的概率密度函数 $p(x)$，其矩量母函数 $M(\theta )$ 定义为 $M(\theta )=E[\exp (\theta X)]={\int }_{-\infty }^{\infty }\exp (\theta x)p(x)dx$。并且，正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的概率密度函数 $p_N(x)$ 定义为 $p_N(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$。

(1)

导出正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的矩量母函数 $M_N(\theta )$，表达式为 $M_N(\theta )=\exp \left(\mu \theta +\frac{{\sigma }^2{\theta }^2}{2}\right)$。

(2)

假设 $X_1,X_2$ 分别独立地遵循正态分布 $N({\mu }_1,{\sigma }_0^2),N({\mu }_2,{\sigma }_0^2)$。定义 $y=X_1+X_2$，$Z=X_1-X_2$，求其矩量母函数 $M_y(\theta ),M_Z(\theta )$，并由此推导出 ${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_0^2$。

問2

给定事件 $A$ 和 $B$ 的先验（边际）概率 $P(A)$ 和 $P(B)$，以及条件概率 $P(B|A)$ 和 $P(A|B)$，使用贝叶斯定理可以表达它们的关系。

(1)

在某疾病引发的大规模流行病中，人口中有50%感染了该病。开发了一种检测试剂 $X$，能够将60%的感染者检测为阳性，而4%的未感染者会被误判为阳性。求使用 $X$ 检测结果为阳性时，实际感染该病的概率。

(2)

流行病得到控制后，感染者比例降至5%。若要确保使用 $X$ 检测得出的阳性结果的确信度超过90%，则需要连续多少次检测结果均为阳性，以及相关的原因。假设各次检测是独立的。

解

82-sc-r4 問題3 問2

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問題4

問1

求解以下关于实函数 $u(t)$ 的微分方程，其中 $u(0)=0$：
$\frac{du}{dt}=6u-7e^{2t}$

問2

求解以下关于实函数 $u_1(t),u_2(t)$ 的联立微分方程，其中 $u_1(0)=\frac{37}{3}$, $u_2(0)=\frac{5}{3}$：
$\frac{d{u}_1}{dt}=6u_1+4u_2-7e^{2t}$
$\frac{d{u}_2}{dt}=2u_1+4u_2-5e^{2t}$

追試験

問題1

問1

(1)

次の関数 $y(x)$ の導関数 $\frac{d}{dx}y(x)$ を求めよ。
$y(x)=\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}$

(2)

xy平面内で次式で表される曲線の長さを求めよ。ただし, 𝑎𝑎 は正の定数， $0\le \theta \le 2\pi$ とする。
$x(\theta )=a(\theta -sin\theta ),y(\theta )=a(1-cos\theta )$
82-sc-r4 追試験 問題1 問1 (2)

問2

３次元空間に直行座標系$O-xyz$をとる。
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\ge z$
$x^2+y^2\le c^2$
$z\ge 0$
で定められる領域の体積を求めよ。ただし、$a$, $b$, $c$ は正の実定数とする
82-sc-r4 追試験 問題1 問2

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問題2

给定 $m\times n$ 矩阵 $W$ 和 $n$ 维向量 $x$，以及 $m$ 维向量 $b$，以下是具体的子问题：

(1)

假设 $a$ 是一个实数，矩阵 $W$ 和向量 $b$ 定义如下：
$W=\left[\begin{array}{ccc}1& a^3& a^2\\ a^3& 1& a\\ a^2& a& 1\end{array}\right]$, $b=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$
找到 $a$ 的值，使得线性方程组 $Wx=b$ 有至少一个解，并描述这些 $a$ 的条件。

(2)

在 (1) 中，如果 $Wx=b$ 的解不是唯一的，给出解的一般形式。

(3)

如果 $m>n$，通常不可能找到精确解 $Wx=b$。因此，定义损失函数 $L(x)=\frac{1}{2}||Wx-b|{|}^2$，目标是最小化这个损失函数来找到 $x$ 的近似解。如果已知 $W$ 的秩为 $n$，描述如何用 $W$ 和 $b$ 表达出使 $L(x)$ 最小的 $x$。

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問題3

T 工業大学のエヌ氏は，個人の幸福度を計測できる 2 種類のセンサ H とΩを開発した。 センサ H は，1000 回を 1 セットとした幸福度計測を，計測対象者の幸福度が変化しないと みなせる短時間で，かつ非接触で実施できる。この際，各回の計測は正規分布に従う誤差 を伴うことが分かっている。一方，センサΩは接触型センサではあるが，1 回で幸福度の正 確な計測が可能である。エヌ氏は，研究室の学生１名に対し，これら 2 種類のセンサを用 いて，同時に幸福度を計測する実験を行った。この実験について，以下の問に答えよ。な お，幸福度はスカラーの実数値として計測され，その単位は Bh とする

問1

センサ H の計測結果１セット分から無作為抽出した 5 回分の標本（ID: 1～5） を表 1 に示す。

(1)

標本平均，および不偏分散（標本不偏分散）を求めよ。

(2)

母平均，および母分散の最尤推定値を求めよ。 いずれも，必要に応じて四捨五入して，小数点以下第 1 位までの値で答えよ

問2

センサΩの計測結果は $24.0[Bh]$ であった。センサΩは真値を出力すると仮定し， センサ H が正しく幸福度を計測しているといえるか，適切な検定方法を用いて，有 意水準 𝛼 = 0.05 で検定せよ。必要に応じて，表 A～C に記載の標準正規分布，𝑡 分布， 𝜒 2 分布のパーセント点表を用いよ

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問題4

２つの独立変数 $x$, $y$ の関数 $u(x,y)$ が以下の偏微分方程式および境界条件を満たすとする。 偏微分方程式
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \tag{1}
$0\le x\le 2$, $0\le y\le 3$
境界条件
$u(0,y)=u(2,y)=0$
$u(x,3)=0,u(x,0)=f(x)$
ここで $f(x)$ は $x$ の関数である。$u(x,y)$ を求めたい。以下の問に答えよ。なお $u(x,y)$ は恒等 的に 0 ではない

問1

$x$ のみの関数 $g(x)$ および $y$ のみの関数 $h(y)$ を考え，$u=g(x)h(y)$ を仮定し，式(1) に代入すると $\frac{g^{\prime \prime }(x)}{g(x)}=-\frac{h^{\prime \prime }(y)}{h(y)}$となるが，この左辺および右辺はそれぞれ$x$のみおよび $y$ のみの関数であるので， この左辺および右辺は定数となる。この定数を $\lambda$ としたとき，$\lambda$ が負になることを証 明せよ。

問2

以下は $u(x,y)$ を求める手順を述べたものである。$①\sim ③$ の空欄に当てはまる数式を答えよ。
偏微分方程式$(1)$の解は，
u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty C_ng_n(x)h_n(y) \tag{2}
の形で書けるとする。ただし $n$ は整数である。 $g_n(x)$ は，問１の結果と，境界条件 $g(0)=g(2)=0$ から，$g_n(x)=\boxed{①}$ と求まる（ただし全体にかかる任意係数 は省略した形で $h_n(y)$ については，同じく全体にかかる任意係数は省略した形で， $h_n(y)=\sinh (\boxed{②})$ と求まる。さらに，式(2)の係数 $C_n$ を求めるためには，境 界条件の $f(x)$ を式$(2)$のような形に置き換えればよい。そこで，$f(x)$ を区間 $[-2,2]$ で 1 周期として $(-\infty ,\infty )$ まで接続し，境界条件も考慮してフーリエ級数展開すると，
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin(\frac{n\pi x}{2})\int_0^2 f(\tau)\sin(\frac{n\pi\tau}{2})d\tau \tag{3}
を得る。式(2)と式(3)を見比べれば，$C_n=\boxed{③}$ と求まり，$u(x,y)$ が求まる

82-sc-r4 追試験 問題4